¿Por qué es esta la probabilidad de que un paquete de ondas entrante sea absorbido por el agujero negro?

Este argumento que implica$\Gamma(\omega)$se hace ya que en un enfoque ingenuo, para obtener la radiación de Hawking, generalmente se deja caer el potencial efectivo. Permítanme aclarar esta afirmación:

En un espacio-tiempo curvo, el Lagrangiano de un campo escalar sin masa libre es:

$$\begin{equation} \mathcal{L}=\frac{1}{2}g^{\mu\nu} \partial_\mu\phi\,\partial_\nu \phi \end{equation}$$ donde la métrica$g^{\mu\nu}$es la solución de las ecuaciones de Einstein: $$G_{\mu\nu}=8\pi G\,T_{\mu\nu}$$ en un espacio-tiempo con una fuente$T_{\mu\nu}$.

Ahora, al hacer uso de las ecuaciones de Euler-Lagrange, puede escribir las ecuaciones de movimiento, que dicen:

$$\hat{\square}\phi=0$$ dónde$\hat{\square}$es el operador de Laplace-Beltrami: $$\frac{1}{\sqrt{g}}\partial_\mu (\sqrt{g}\,g^{\mu\nu}\partial_\nu)$$ con$g=det(g_{\mu\nu})$.

Si ahora considera la métrica de Schwarzchild dada por

$$ds^2=(1-\frac{2m}{r})dt^2-\frac{dr^2}{1-\frac{2m}{r}}-r^2d\Omega^2$$ Como estamos en un espacio-tiempo esféricamente simétrico, podemos expandir el campo en armónicos esféricos: $$\phi=\sum_{l,m}\frac{F(r,t)}{r}Y_l^m(\theta,\phi)$$ Y ahora, poniendo esta expansión en la ecuación de movimiento, y considerando la parte radial, obtendrás (después de algunos pasos algebraicos): $$\left(\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\frac{\partial^2}{\partial {r^*}^2}+V_l\right)F_l(r,t)=0$$ con el potencial efectivo$V_l=(1-\frac{2m}{r})(\frac{2m}{r^3}+\frac{l(l+1)}{r^2})$.

En una primera aproximación, puede soltar el$V_l$término, diciendo que su solución será válida en el$r\to\infty$regiones (las regiones asimpóticas). Lo que encontrará es un valor medio de partícula dado por la distribución planckiana en el tiempo tardío:

$$\langle in|N^R_\omega|in\rangle=\frac{1}{e^{8\pi m\omega}-1}$$ (dónde$N^R_\omega={a^R_\omega}^\dagger a^R_\omega$, con estos operadores de creación y aniquilación refiriéndose a los modos$u^R_\omega\sim e^{-i\omega u}$y con$u=t-r^*$, una de las coordenadas nulas en la extensión doble nula de la métrica de Schwarzchild).

Este valor es claramente divergente para$\omega\to 0$, y esto es claro ya que hemos dejado caer el potencial efectivo, lo que blindaría los modos permitidos ir al infinito. Si considera el potencial efectivo, la ecuación de movimiento obviamente cambiará, y puede decir que habrá algunos modos transmitidos (modos T) y algunos modos reflejados (modos R) por el potencial. Como estamos considerando modos$\sim e^{-i\omega u}$, que se dirigen a través del futuro infinito nulo$\mathcal{I^+}$(en un diagrama de Penrose), solo los modos T llegarán a este$\mathcal{I}^+$, ya que los modos R se verán reflejados por el potencial en el Agujero Negro. Por lo tanto, mediante un análisis asintótico, puede calcular este$T$y$R$probabilidad, y encontrarás que:

$$|T|^2\simeq 16m^2\omega^2\sim A_H\omega^2\;\;\;\; \text{with }A_H\text{ the horizon surface area}$$ (y$|R^2|=1-|T^2|$).

Su distribución planckiana se convertirá entonces en:

$$\langle in|N^R_\omega|in\rangle=\frac{|T|^2}{e^{8\pi m\omega}-1}=\frac{\Gamma(\omega)}{e^{8\pi m\omega}-1}$$ y esto es correcto ya que los modos bajos están blindados por este$\Gamma$.

Sin embargo, en su referencia, Parker está considerando los modos$\sim e^{-i\omega v}$, con$v=t+r^*$, la otra coordenada nula de la extensión doble nula de la métrica de Schwarzchild, entonces tienes que los modos que irán al infinito, serán los que se reflejan en el potencial, y haciendo el mismo análisis que he hecho, tienes llegará a la misma conclusión.