¿Cómo interpretar esta construcción de los estados en QFT?

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¿Cómo interpretar esta construcción de los estados en QFT?

Física
definición
mecánica cuántica
teoría cuántica de campos
qft-en-espacio-tiempo-curvo
interpretaciones cuánticas

Oro

Mecánica cuántica no relativista

Para aclarar esta cuestión, podría ser útil contrastarla con la mecánica cuántica no relativista.

En cualquier teoría cuántica, los estados de un sistema son rayos unitarios en un espacio de Hilbert y, por lo tanto, pueden describirse mediante vectores unitarios. $\Psi$ .

En la mecánica cuántica no relativista de una partícula, el espacio de Hilbert apropiado es $\mathscr{H}=L^2(\mathbb{R},dx)$ . El operador de posición $X$ es simple $X\Psi(x)=x\Psi(x)$ . Esto permite interpretar $|\Psi(x)|^2$ como una densidad de probabilidad para la posición.

En cualquier teoría cuántica, la evolución temporal viene dada por una unidad $U(t,t_0)$ que es generado por el hamiltoniano.

Una vez algún estado $\Psi_0(x)$ se da, uno lo evoluciona a $\Psi(t,x)=U(t,t_0)\Psi_0(x)$ . Así que nuestras conclusiones son:

Un estado en un instante de tiempo fijo es un mapa $\Psi_0 : \mathbb{R}\to \mathbb{C}$ ;
La evolución temporal del sistema es un camino de estados. $\Psi : \mathbb{R}\times \mathbb{R}\to \mathbb{C}$ para que por cada $t$ fijo tenemos un estado como en (1) que es $\Psi(t,\cdot)$ .

QFT libre en el espacio-tiempo de Minkowski

Aquí consideramos un QFT escalar libre en el espacio-tiempo de Minkowski. Esto ya es capaz de mostrar la esencia de la duda.

Una forma de construir el espacio de estados se describe en el libro GR de Wald. La pregunta es sobre este constructo específico porque se puede generalizar a otros espaciotiempos más fácilmente que el basado en representaciones del grupo de Poincaré.

Definimos el espacio de Hilbert de una partícula , $\mathscr{H}$ , para ser el espacio vectorial compuesto por soluciones de frecuencia positiva de la ecuación de Klein-Gordon cuya norma de Klein-Gordon es finita, con producto interno en $\mathscr{H}$ definido por

$(α, β)_{k GRAMO} = i \int_{Σ} (\bar{α} \nabla_{a} β - β \nabla_{a} \bar{α}) {norte}^{a} d Σ$ $(\alpha,\beta)_{KG}=i\int_{\Sigma}(\bar{\alpha}\nabla_a\beta -\beta \nabla_a \bar{\alpha})n^a d\Sigma$

El espacio de Hilbert de todos los estados posibles del campo escalar de Klein-Gordon se toma como el espacio de Fock simétrico, $\mathscr{F}_S(\mathscr{H})$ , construido a partir de $\mathscr{H}$ .

Así que concéntrate en el espacio de Hilbert de una partícula $\mathscr{H}$ así construido. Sus elementos son los estados de una partícula. Pero ahora estos son mapas. $\Psi : M\to \mathbb{C}$ dónde $M$ es el espacio-tiempo de Minkowski. En coordenadas tal mapa es $\Psi(t,\mathbf{x})$ .

Pero espera un minuto. Ahora esto es confuso. Comparar con la mecánica cuántica no relativista. Allí el estado no tiene dependencia del tiempo. La curva de estados que representa la evolución temporal que tiene dependencia temporal.

Aquí el estado mismo tiene dependencia del tiempo.

Así que la evolución sería algo así como $\Psi(t')(t,\mathbf{x})$ con "dos parámetros de tiempo"? Esto es extremadamente extraño .

¿O estos estados ya llevan alguna idea de la evolución del tiempo en ellos?

También es difícil interpretar tal estado $\Psi(t,\mathbf{x})$ . No hay operador de posición en QFT por lo que no es posible decir que $|\Psi(t,\mathbf{x})|^2$ es la densidad de probabilidad de que la partícula esté en $\mathbf{x}$ en el momento $t$ como en el caso no relativista.

Entonces, ¿cómo interpretamos esta construcción de estados? como tal $\Psi(t,\mathbf{x})$ debe interpretarse y qué justifica la interpretación ?

knzhou

Los estados dependientes del tiempo no son extraños, aparecen incluso en la mecánica cuántica no relativista de pregrado bajo el nombre de imagen de Heisenberg. La dependencia del tiempo captura, bueno, la dependencia del tiempo del estado. Para recuperar un estado independiente del tiempo, puede tomar un intervalo de tiempo, si corresponde, en su espacio-tiempo.

Oro

@knzhou Creo que me estoy perdiendo algo obvio. En la imagen de Heisenberg fijamos el estado como el estado inicial y los observables evolucionan, ¿verdad? En otras palabras, dado

Ψ_{0}

$\Psi_0$ el estado inicial, permanece fijo y los observables evolucionan de acuerdo con

A (t) = U^{†} (t, t_{0}) A U (t, t_{0})

$A(t)=U^\dagger(t,t_0)A U(t,t_0)$ . En ese caso

Ψ_{0}

$\Psi_0$ no depende del tiempo, los observables sí. ¿Qué me estoy perdiendo aquí?

knzhou

Depende de cómo lo configures, supongo. Por ejemplo, he visto el estado

| x, t ⟩

$|x, t \rangle$ definido "en la imagen de Heisenberg" para significar el vector propio de

{\hat{x}}_{H} (t)

$\hat{x}_H(t)$ con valor propio

x

$x$ . En ese sentido, los estados se extienden a lo largo del tiempo. Pero en la práctica no hay nada de qué preocuparse porque los cálculos se verán exactamente iguales hasta cambios contables menores.

knzhou

Por ejemplo, la amplitud para propagarse desde

(x, t)

$(x, t)$ a

(y, t^{'})

$(y, t')$ se escribiría como

⟨ y, t^{'} | x, t ⟩

$\langle y, t' | x, t \rangle$ en esta notación, mientras que en notación estándar sería

⟨ y | U (t^{'}, t) | x ⟩

$\langle y | U(t', t) | x \rangle$ . Pero se puede ver cómo son realmente la misma cosa.

Oro

Pero esto es una cosa diferente en mi humilde opinión. En su ejemplo, tenemos un estado dependiente del tiempo. Así que para cada

t

$t$ tienes un estado

| x, t ⟩

$|x,t\rangle$ . Está bien. Tenemos un conjunto de estados.

H

$\mathscr{H}$ y para cada

t

$t$ elegimos un elemento etiquetado por él. En la construcción que he esbozado ese no es el caso. Los estados mismos son funciones del tiempo. Entonces la función

Ψ

$\Psi$ - que es un estado - definido en el espacio-tiempo (y que por lo tanto depende del tiempo) es un solo elemento de

H

$\mathscr{H}$ . No muchos parametrizados por tiempo. Eso es lo que me está costando reconciliar con QM no relativista.

knzhou

No, es solo un cambio de perspectiva. Es

| x, t ⟩

$|x, t \rangle$ realmente "el estado

| x ⟩

$|x \rangle$ como una función de

t

$t$ " o "un estado para cada par

(x, t)

$(x, t)$ "? No hay absolutamente ninguna diferencia material, en términos de los cálculos que terminas haciendo.

lalala

¿Estás seguro de que los estados están definidos en M y no solo en Sigma? Sigma parece ser una hipersuperficie 3D (como el espacio) y un vector normal ('tiempo') en eso.

Respuestas (4)

¿Cómo interpretar esta construcción de los estados en QFT?

Los estados dependientes del tiempo no son extraños, aparecen incluso en la mecánica cuántica no relativista de pregrado bajo el nombre de imagen de Heisenberg. La dependencia del tiempo captura, bueno, la dependencia del tiempo del estado. Para recuperar un estado independiente del tiempo, puede tomar un intervalo de tiempo, si corresponde, en su espacio-tiempo.
@knzhou Creo que me estoy perdiendo algo obvio. En la imagen de Heisenberg fijamos el estado como el estado inicial y los observables evolucionan, ¿verdad? En otras palabras, dado $\Psi_0$ el estado inicial, permanece fijo y los observables evolucionan de acuerdo con $A(t)=U^\dagger(t,t_0)A U(t,t_0)$ . En ese caso $\Psi_0$ no depende del tiempo, los observables sí. ¿Qué me estoy perdiendo aquí?
Depende de cómo lo configures, supongo. Por ejemplo, he visto el estado $|x, t \rangle$ definido "en la imagen de Heisenberg" para significar el vector propio de $\hat{x}_H(t)$ con valor propio $x$ . En ese sentido, los estados se extienden a lo largo del tiempo. Pero en la práctica no hay nada de qué preocuparse porque los cálculos se verán exactamente iguales hasta cambios contables menores.
Por ejemplo, la amplitud para propagarse desde $(x, t)$ a $(y, t')$ se escribiría como $\langle y, t' | x, t \rangle$ en esta notación, mientras que en notación estándar sería $\langle y | U(t', t) | x \rangle$ . Pero se puede ver cómo son realmente la misma cosa.
Pero esto es una cosa diferente en mi humilde opinión. En su ejemplo, tenemos un estado dependiente del tiempo. Así que para cada $t$ tienes un estado $|x,t\rangle$ . Está bien. Tenemos un conjunto de estados. $\mathscr{H}$ y para cada $t$ elegimos un elemento etiquetado por él. En la construcción que he esbozado ese no es el caso. Los estados mismos son funciones del tiempo. Entonces la función $\Psi$ - que es un estado - definido en el espacio-tiempo (y que por lo tanto depende del tiempo) es un solo elemento de $\mathscr{H}$ . No muchos parametrizados por tiempo. Eso es lo que me está costando reconciliar con QM no relativista.
No, es solo un cambio de perspectiva. Es $|x, t \rangle$ realmente "el estado $|x \rangle$ como una función de $t$ " o "un estado para cada par $(x, t)$ "? No hay absolutamente ninguna diferencia material, en términos de los cálculos que terminas haciendo.
¿Estás seguro de que los estados están definidos en M y no solo en Sigma? Sigma parece ser una hipersuperficie 3D (como el espacio) y un vector normal ('tiempo') en eso.

usuario1504 · Answer 1

Creo que probablemente sea mejor dejar el cuanto y simplemente entender lo que está pasando aquí en el entorno clásico.

En la mecánica clásica, por lo general tomamos un estado para ser especificado por los datos de valor inicial para las ecuaciones de movimiento, por ejemplo, un punto $(x,p) \in T^*\mathbb{R}^3$ para una sola partícula. Pero, debido a que trabajamos con ecuaciones de movimiento para las cuales el problema del valor inicial está bien planteado, tenemos un isomorfismo

$\{\mbox{solutions to equations of motion}\} \simeq \{\mbox{initial value data}\},$

por lo que igualmente podríamos definir el conjunto de estados como el conjunto de soluciones a las ecuaciones de movimiento. Esta es una forma igualmente buena de especificar el estado del sistema. Esto es lo que Wald está haciendo. La única diferencia es que está en el entorno cuántico, por lo que está considerando superposiciones de estados clásicos.

elio fabri · Answer 2

$\def\bp{{\bf p}} \def\bx{{\bf x}}$ Sugeriría un enfoque equivalente, que quizás encuentre más aceptable.

En lugar de trabajar con

soluciones de frecuencia positiva de la ecuación de Klein-Gordon cuya norma de Klein-Gordon es finita

como lo hace Wald, podrías lidiar con $L^2(V^+,d^3\bp/p^0)$ dónde $V^+$ es la capa de masa positiva en el espacio de 4 impulsos. Esto está en relación de transformada 3D de Fourier con Wald's $\mathscr H$ :

Ψ (t, X) = \int_{V^{+}} Exp (i {pag}_{m} X^{m}) Φ (pag) \frac{d^{3} pag}{{pag}^{0}}

$\Psi(t,\bx) = \int_{V^+}\!\exp(i p_\mu x^\mu)\,\Phi(\bp)\>{d^3\bp \over p^0}$ Tenga en cuenta que

p_{0} = + \sqrt{p^{2} + m^{2}}

$p_0 = +\sqrt{\bp^2 + m^2}$ y

Ψ

$\Psi$ se define como una función de

t

$t$ porque

\exp \dots

$\exp\ldots$ que contiene la evolución del tiempo. Por otro lado

Ψ (t, X) = tu (t) Ψ (0, X)

$\Psi(t,\bx) = U(t)\,\Psi(0,\bx)$ como te gustaría

A ver si lo conseguí. El espacio $L^2(V^+,d^3\mathbf{p}/p^0)$ tiene la ventaja de que un estado $\Phi(\mathbf{p})$ tiene una interpretación directa como una amplitud para el momento. Ahora el operador de traducción actúa exactamente como $tu (a) Φ (pag) = {mi}^{i {pag}_{m} a^{m}} Φ (pag)$ $U(a)\Phi(\mathbf{p})=e^{i p_\mu a^\mu}\Phi(\mathbf{p})$ . En particular, la evolución del tiempo libre se codifica como una pura traducción en el tiempo. Entonces, cuando transformamos Fourier para obtener el espacio de Wald, en realidad terminamos obteniendo $\Psi(t,\mathbf{x})$ cual es la evolución en tiempo libre de un estado $\Psi(0,\mathbf{x})$ . En ese caso, los estados pueden ser vistos como $\Psi(0,\mathbf{x})$ . ¿Es ese tu punto?

yuggib · Answer 3

En las teorías relativistas, el espacio y el tiempo deben tratarse en pie de igualdad como coordenadas, y esto se aplica también a las teorías cuánticas relativistas.

Por lo tanto, los campos cuánticos (es decir, los observables fundamentales en las teorías cuánticas relativistas) dependen tanto del espacio como del tiempo como coordenadas y, por lo tanto, un vector espacio-tiempo $x_\mu = (x_0,\vec{x})$ sustituye el vector de coordenadas espaciales $\vec{x}$ utilizado en teorías no relativistas.

Esto también se traduce en cierta medida a los estados cuánticos, que son distribuciones de probabilidad (no conmutativas) que actúan sobre observables (que se forman a partir de campos de espacio-tiempo). La distinción "hasta cierto punto" se debe al hecho de que en la mecánica cuántica relativista, dado que las partículas se pueden crear y aniquilar, los campos, en lugar de (la versión cuántica de) las coordenadas y los momentos, son los observables fundamentales de la teoría, en los que se basan los estados. actuar sobre.

El concepto de evolución temporal en la mecánica cuántica relativista se vuelve un poco más sutil que en el caso no relativista. Esto se debe a que sería imprudente (más propiamente, no necesariamente covariante) caracterizar la evolución con respecto al tiempo de un marco fijo.

Un sistema cuántico relativista en el espacio-tiempo de Minkowski se especifica mediante dos cosas: una representación del grupo de Poincaré, definido de manera algo abstracta en el álgebra de observables; y un estado puro que es invariante bajo la acción (adjunta) del grupo de Poincaré. Tal estado, el llamado estado de vacío , determina la representación de los estados como vectores espaciales de Hilbert, y determina de manera única la teoría considerada. El generador, en tal representación, de las traslaciones temporales del grupo de Poincaré es el hamiltoniano del sistema. Encontrar el vacío para las teorías que interactúan es uno de los problemas más difíciles y aún abiertos de la física matemática y teórica. Para las teorías libres, el vacío es el vacío de Fock y, por lo tanto, esto justifica la construcción mencionada por el OP.

En el espacio-tiempo curvo, la situación es aún más complicada, porque ya no hay un grupo de simetría para el espacio-tiempo y, por lo tanto, se debe encontrar un análogo adecuado del estado de vacío. Para las teorías libres se utilizan los llamados estados de Hadamard .

Gracias @yuggib. Pero verás, según la construcción de Wald, un estado es una función del espacio y el tiempo. $\phi(t,\mathbf{x})$ que resuelve la ecuación de KG y es de frecuencia positiva para el observador inercial. Entonces, al menos tenemos una construcción de vacío natural aquí. Aún así, ¿cómo interpretamos tal estado? no veo como justificar decir eso $|\phi(t,\mathbf{x})|^2$ es una densidad de probabilidad para la posición como en QM no relativista ya que no tenemos observables de posición.
@user1620696: Estás olvidando algo importante mencionado por Wald que es tomar el espacio Fock $\mathcal{F}$ sobre el espacio $\mathcal{H}$ que contiene su solución KG clásica $\phi(t,\mathbf{x})$ . La cosa cuyo módulo al cuadrado tiene una interpretación de probabilidad pertenece a $\mathcal{F}$ no $\mathcal{H}$ .

Pedro Kravchuk · Answer 4

Una función es una función, no un estado. Se dice que los estados están en correspondencia biunívoca con tales funciones. No se dice que un estado en el tiempo $t$ es descrita por la función en el tiempo $t$ . Imagina que estás trabajando en un espacio plano, con los operadores habituales de creación-aniquilación. Hay un estado de una partícula para cada operador de creación. También hay un modo de campo, que es una función de $x$ y $t$ , para cada operador de creación. Este modo es la función de la que habla Wald, si entiendo correctamente. No significa que los operadores de creación dependan del tiempo, por lo que no significa que los estados que crean dependan del tiempo. Todo está en la imagen de Heisenberg.

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