Temperatura de Hawking para una métrica determinada

El efecto Hawking es un efecto asociado al espacio-tiempo de los agujeros negros. Dado que cada solución de agujero negro estacionario para las ecuaciones de Einstein-Maxwell es esencialmente un agujero negro giratorio y cargado debido a los teoremas sin cabello y la métrica que proporcionó no es la de un agujero negro giratorio y cargado, no caracteriza a un agujero negro dentro de la noción habitual de la Relatividad General. Por lo tanto, asumiré que su pregunta se refiere a calcular la temperatura asociada con el efecto Unruh, que también es un efecto relativo a la temperatura debido a efectos cuánticos en marcos de referencia no inerciales. Esta temperatura a menudo se conoce como la temperatura de Hawking. Además, la principal diferencia entre los efectos a los efectos de esta pregunta es que en el efecto Hawking las "partículas" parecen provenir de la región del agujero negro, mientras que en el efecto Unruh provienen de todas partes. Cuando uno está cerca del agujero negro, el efecto Hawking puede aproximarse al efecto Unruh.

El efecto Unruh ocurre en espaciotiempos que poseen lo que se conoce como un horizonte Killing bifurcado. En resumen, un horizonte Killing es una superficie nula ortogonal a un campo Killing (como el horizonte de sucesos del agujero negro de Schwarzschild), y un horizonte Killing bifurcado es un par de superficies que se cruzan entre sí (como el futuro y horizontes de sucesos pasados ​​del agujero negro de Schwarzschild). En espaciotiempos con tal estructura, los observadores que siguen las órbitas del campo Killing que genera el horizonte Killing bifurcado perciben el vacío (es decir, el único estado no singular, invariante Killing del campo cuántico) como un estado térmico con temperatura dada hasta un factor de desplazamiento Doppler por la temperatura de Hawking

$$T = \frac{\kappa}{2\pi},$$ dónde$\kappa$es la llamada gravedad superficial del horizonte Killing. Por lo tanto, todo lo que necesita hacer para calcular la temperatura de Hawking es calcular la gravedad de la superficie.

Este tema está cubierto en muchos libros de texto sobre relatividad. Los detalles del efecto Unruh que mencioné se pueden encontrar en el Cap. 5 de la teoría cuántica de campos de Wald en el espacio-tiempo curvo y la termodinámica de agujeros negros y la ecuación que escribí anteriormente corresponde a la ecuación de Wald. (5.3.2). Se puede encontrar más información sobre la gravedad superficial en el libro de Wald sobre QFTCS y BH Thermodynamics o, para obtener más ejemplos, en A Relativist's Toolkit de Poisson o en el cap. 12 de la Relatividad General de Wald .

Suponiendo que este espacio-tiempo tiene un horizonte Killing bifurcado (no intenté probarlo o refutarlo), esbozaré cómo realizar el cálculo de la gravedad superficial a través de la ecuación de Wald. (12.5.18) (libro GR), pero no escribiré todos los detalles ya que eso también va en contra de la política del sitio. Las expresiones relevantes son

$$V \equiv \sqrt{- \chi^a \chi_a},$$ $$a^c = \frac{\chi^b \nabla_b \chi^c}{- \chi^a \chi_a}, \tag{12.5.17}$$ $$\kappa = \lim_{r \to l} (a V), \tag{12.5.18}$$ donde he especificado (12.5.18) a nuestra situación particular y uno define$a = \sqrt{a^c a_c}$. El campo de muerte estático es$\chi^a = \left(\frac{\partial}{\partial t}\right)^a$, y por lo tanto la métrica proporcionada conduce a $$V = \sqrt{1 - \frac{r^2}{l^2}}.$$

Una manera fácil de calcular$a^c$es notar que la ecuación de Killing nos permite escribir

$$a^c = \frac{\nabla^c V^2}{2 V^2},$$ de lo que se deduce que $$a_c = - \frac{r}{V^2 l^2} (\textrm{d}r)_c,$$ y por lo tanto se puede calcular $$a_c a^c = \frac{r^2}{V^2 l^4}.$$

Juntando todo, encontramos

$$\kappa = \lim_{r \to l} \frac{r}{l^2} = \frac{1}{l}.$$

Esto estuvo de acuerdo, hasta un signo, con la ecuación de Poisson. (5.39). Creo que la discrepancia se debe a que la fórmula de Poisson asume que el campo Killing es temporal en el infinito, mientras que para esta métrica en particular es espacial en el infinito.

Para completar, en esta notación, la temperatura medida por cualquier observador local será (ecuación QFTCS de Wald (5.3.3))

$$T = \frac{\kappa}{2\pi V}.$$