¿Por qué es 4=3⊕14=3⊕14=3\oplus 1? ¿Qué son los modos de propagación? Etc

respuesta 1

Cada representación del grupo de Lorentz es equivalente a una representación de un$SU(2)\otimes SU(2)$. La representación vectorial en particular es una$(1/2,1/2)$representación. Los generadores de la$SU(2)\otimes SU(2)$grupo son$J_i^\pm = J_i\pm i K_i$; por lo que para las rotaciones los generadores de los dos grupos son iguales y están dados por el habitual$SU(2)$generadores Entonces, si solo agregas los dos$1/2$con las reglas de adición usuales se encuentra el$0 \oplus 1$descomposición bajo rotaciones.

Para una interpretación más física de esto, vaya al marco del centro de masa: tiene un grado de libertad$A^0$que se deja sin cambios por rotaciones, es decir, es un escalar, y tres grados de libertad$\vec A$que forman un$SO(3)$vector.

No es 100% cierto que "$A^\mu$es en sí mismo un espín-1". Lo que es cierto es que contiene una representación de espín-1 y es por eso que puede usar este campo para describir partículas de espín-1. Del teorema de Wigner-Eckart, esta es una condición necesaria para tener un valor distinto de cero elementos de matriz entre el estado de partícula y el operador de campo

$\langle0|A^\mu (x)|p,\lambda\rangle$

Respuesta 2 y 3

Como también se explica en la respuesta vinculada en el comentario, ese Lagrangiano es equivalente a la suma de 4 Lagrangianos independientes para cuatro campos escalares independientes y uno de estos escalares aparece con el signo "incorrecto" en el Lagrangiano y tienes estados con energías negativas. Como también se escribe un poco más adelante en el libro, con solo mirar las ecuaciones de movimiento que tienen cuatro escalares o un vector de 4 es exactamente lo mismo. Nada te dice eso$A^\mu$debe transformarse de una manera particular bajo una transformación de Lorentz. El tercer problema es que tienes demasiados grados de libertad.

La situación es diferente cuando sumas el otro término con las dos derivadas mixtas

Bajo una transformación de Lorentz obtienes dos$\Lambda^{-1}$matrices de las dos derivadas parciales. Si el campo luego se transforma como$A\to \Lambda A$luego esas dos matrices se cancelan y terminas con lo que empezaste: esa pieza es invariante de Lorentz. El lagrangiano que tenías antes era invariante incluso bajo una transformación de Lorentz$x\to \Lambda x$pero$A\to A$.

El punto que necesitas entender de ese capítulo es que las ecuaciones libres de movimiento para campos no son algo que puedas construir a mano al azar o algo con lo que puedas jugar agregando nuevas piezas o modificando las antiguas. Las ecuaciones libres de movimiento están 100% fijadas por la teoría de grupos. Incluso las ecuaciones que parecen más complicadas, por ejemplo, para un gravitón masivo, son solo una suma de proyectores en la representación de Poincaré correcta necesaria para la partícula que desea describir. En el caso del vector, por ejemplo, las ecuaciones de movimiento son equivalentes a

En el espacio de cantidad de movimiento y en el marco del centro de masa ($p^\mu = (p^0,\vec 0)$), la primera ecuación te dice$p^2=(p^0)^2 = m^2$, mientras que el segundo es$A^0 = 0$. Es decir, está proyectando su campo en el caparazón y conservando solo el componente spin-1.

Un ejercicio divertido es hacer lo mismo con el gravitón. Usted impone que los dos grados de libertad escalares y uno vectorial deben ser cero en el marco del centro de masa, agregue esas condiciones con la condición en el caparazón, vaya en un marco general y en el espacio de posición y verá que mágicamente recupera el Ecuaciones de movimiento de Fierz-Pauli.