¿Importa si las transformaciones de Poincaré son solo cambios de coordenadas?

Considere un paquete vectorial$E \overset{\pi}{\rightarrow} M$. En tu pregunta, construyes un difeomorfismo.$\phi=x\circ y^{-1}:M\rightarrow M$de dos gráficos globales$x, y:M\rightarrow \mathbb{R}^4$. A mi me parece que dices eso$\phi$define una transformación del espacio de secciones:

Sin embargo, para algún paquete adecuado se puede definir una acción no equivalente del grupo de Poincaré. Considere una representación del grupo de Lorentz$R:SO(1,3)\rightarrow \rm{End}(V)$y supongamos que las fibras de nuestro haz son isomorfas a (e identificadas con)$V$. La acción terminó$\Gamma(M,E)$del grupo de Poincaré que queremos es

Esta es la acción que se utiliza en la física. Incluye como caso particular la restricción de$\Phi$de$\rm{Diff}(M)$a$\rm{Iso}(M)$. Esto se puede ver reemplazando$R$por el producto tensorial de la representación trivial consigo misma.$\Psi_R$es la acción que involucra las matrices de Lorentz, pero sólo cuando$R$es la representación fundamental.

Ahora bien, es cierto que por cada transformación de Poincaré$\phi$hay una transformación de coordenadas asociada$C^\infty(M,\mathbb{R}^4)\rightarrow C^\infty(M,\mathbb{R}^4):x\mapsto \phi\circ x$. También hay una acción "trivial" de cada transformación de Poincaré sobre el espacio de las secciones:$\Phi$, pero no es el que se usa en física y no involucra matrices de Lorentz. Para la acción utilizada en física necesitamos alguna información adicional, a saber, la representación$R$.

En cuanto a la razón por la cual se usa en física tal acción no trivial del grupo de Poincaré, en la relatividad especial el grupo de simetría espacio-temporal es$\rm{Iso}(M)\simeq ISO(1,3)$(la razón de esto es, si lo desea, la evidencia experimental) y queremos saber cómo se transforman los objetos relevantes en la teoría bajo ella. En la teoría relativista de campos, esos objetos son los campos: secciones de los paquetes de vectores equipados con algunos$\Psi_R$.

En general, la afirmación de que la acción$S:\Gamma(M,E)\rightarrow \mathbb{R}$es invariante bajo alguna transformación$T:\Gamma(M,E)\rightarrow\Gamma(M,E)$significa que$S[X]=S[T(X)]$para cada sección$X$.

La integral que define la acción se puede escribir en coordenadas. Por lo tanto, la acción puede ser vista como funcional.$S_{\mathbb{R}^4}$sobre secciones de un paquete sobre$\mathbb{R}^4$en lugar del original sobre$M$. Entonces el enunciado trivial de que una transformación de coordenadas$\phi:\mathbb{R}^4\rightarrow \mathbb{R}^4$induce otra acción$S'_{\mathbb{R}^4}$(un funcional diferente) dado por$S'_{\mathbb{R}^4}[X]=S_{\mathbb{R}^4}[X\circ \phi]$no es equivalente a la invariancia de la acción bajo la transformación$\phi$(sería así sólo si$S'=S$). Toda transformación de coordenadas induce una nueva acción, pero no todas dejan invariante la acción (sólo las transformaciones de Poincaré lo hacen).

Una partícula tendrá una identidad que se mantendrá invariable bajo transformaciones de simetría. Las representaciones irreductibles proporcionan tal identidad, ya que si transformas un estado de una partícula terminarás en un estado en el mismo espacio. Por el contrario, si no hubiéramos definido las partículas como representaciones irreducibles, se podría aplicar una transformación de simetría y alterar la identidad de una partícula. Podrías obtener, por ejemplo, un estado de neutrino aplicando una transformación de Poincaré en un estado de electrón, lo cual es una tontería. Dado que las representaciones irreducibles están indexadas por los valores propios de las invariantes de Casimir, los posibles valores de esas invariantes indexan las posibles identidades de las partículas. La simetría de Poincarre hereda partículas con masa y espín, que definen parcialmente la identidad de una partícula y corresponden a los dos Casimiros del grupo de Poincaré (generador de traslación al cuadrado y vector de Pauli-Lubanski al cuadrado). El resto de la identidad de la partícula está dada por los Casimiros de otras simetrías internas. U(1) dará carga, SU(2) isospin y así sucesivamente.