¿Cuál es la representación fundamental en la teoría de campos?

La representación fundamental de un grupo de Lie$G$, como se usa comúnmente en este contexto, es la representación fiel más pequeña (es decir, inyectiva) del grupo. No requerimos que los fermiones pertenezcan a la representación fundamental, es solo que, en el modelo estándar, siempre pertenecen a la representación fundamental o trivial (como lo indican completamente los datos experimentales), por lo que rara vez hay una necesidad de mirar otras representaciones.

Pertenecer a una determinada representación$V_\rho$de$G$significa que el campo es una sección del paquete vectorial asociado $P \times_G V_\rho$, dónde$P$es el paquete principal que pertenece a nuestra teoría de calibre. De manera equivalente, el campo es un$G$-función equivalente$P \to V_\rho$cumpliendo$f(pg) = \rho(g^{-1})f(g)$para todos$p \in P$y$g \in G$. Si no se habla de los paquetes principales, el campo a menudo se toma simplemente como una función.$\Sigma \to V_\rho$, aunque esta no es, estrictamente hablando, la forma de hacerlo.

Todo campo debe pertenecer a una representación del grupo gauge (aunque sea trivial) ya que las transformaciones de gauge deben tener una acción definida sobre todo en nuestra teoría.

No se requiere que los campos pertenezcan a representaciones irreducibles (nuevamente, a menudo es simplemente el caso), pero dado que cada representación reducible se puede dividir en irreducibles, es suficiente observar el comportamiento de las representaciones irreducibles. (Tenga en cuenta que hay campos que se transforman en representaciones reducibles, lo habitual$\frac{1}{2}$-los espinores (¡no los espinores de Weyl!) se transforman como miembros del$(\frac{1}{2},0) \oplus (0,\frac{1}{2})$-representación del grupo Lorentz)