Cálculo de la aceleración a partir de mediciones de desplazamiento

La regla número 1 al analizar datos experimentales es:

1. dibujar un gráfico

Y la regla número 2 es

2. Si es posible, dibuje un gráfico de línea recta

Obedezcamos la regla 1 y grafiquemos sus datos. Obtenemos:

OK, parece una cuadrática como se esperaba. Pero debido a que no es un gráfico de línea recta, es difícil ver si es un gráfico cuadrático o no. Para obtener un gráfico de línea recta, tenemos que jugar con los datos. Esperamos que la ecuación distancia:tiempo sea:

$$s = ut + \tfrac{1}{2}at^2$$

Supongamos que asumimos$u=0$, entonces esto se simplifica a:

$$s = \tfrac{1}{2}at^2$$

Entonces, si graficamos$s$contra$t^2$debemos obtener una línea recta con una pendiente de$\tfrac{1}{2}a$. Bueno, hagamos esto. El resultado es:

Los puntos rojos son sus datos, y la línea azul es una línea recta que he dibujado para dar lo que creo que es el mejor puño para los puntos. Y, bueno, la línea recta azul parece encajar bastante bien. La pendiente de la línea es$0.158$m/s$^2$, y esto es$\tfrac{1}{2}a$entonces obtenemos:

$$a = 0.316 \,\text{m/sec}^2$$

Pero, ¿es esto realmente lo mejor? Es$u$realmente cero? Bueno, podemos tomar nuestra ecuación:

$$s = ut + \tfrac{1}{2}at^2$$

Una división a través de$t$Llegar:

$$\frac{s}{t} = u + \tfrac{1}{2}at$$

Esto nos dice que si graficamos$s/t$contra$t$debemos obtener una línea recta con una pendiente de$\tfrac{1}{2}$y un$y$intercepción de$u$. Bien, intentémoslo. Obtenemos solo tres puntos esta vez porque el primer punto da$s/t = 0/0$, que no podemos hacer. De todos modos, con tres puntos, el gráfico se ve así:

Una vez más, los puntos rojos son sus datos y la línea recta azul es mi ajuste. Aunque es una larga extrapolación a la$y$eje me parece como si$u$definitivamente no es cero. De hecho, cuando mido el gradiente y la intersección de mi línea recta, obtengo:

$$\begin{align} a &= 0.291 \,\text{m/sec}^2 \\ u &= 0.30 \,\text{m/sec} \end{align}$$

Finalmente, regresemos a su gráfico original y mostremos sus datos junto con la curva que obtenemos si usamos los valores de$a$y$u$arriba. El gráfico ahora se parece a:|

¡Diría que fue un ajuste bastante bueno!

Suponiendo que la velocidad es$u(t_1)=0$en la posición inicial$s(t_1)=0$, entonces la fórmula que usaste es verdadera para el primer punto. Como no sabe si la aceleración es constante en su problema, para cada otro cálculo, debe calcular la velocidad inicial a partir de los puntos anteriores. Ejemplo:

De 1$\rightarrow$2 :

Suponer que$\Delta t_{12}$es lo suficientemente pequeño para que la aceleración sea casi constante durante este tiempo:

$$s(t_2)=s(t_1)+u(t_1)t_2+\frac{1}{2}at_2^2\implies26.4=0+0\times12.48+\frac{1}{2}a(12.48)^2\implies a=0.339\>\text{m/s$^2$}$$ Por lo tanto, la velocidad está en el punto 2 $$u(t_2)=a\Delta t_{12}+u(t_1)\implies u(12.48)=0.339\times 12.48+0=4.231\>\text{m/s}$$ Desde 2$\rightarrow$3 :

Suponer que$\Delta t_{23}$es lo suficientemente pequeño para que la aceleración sea casi constante durante este tiempo:

$$s(t_3)=s(t_2)+u(t_2)\Delta t_{23}+\frac{1}{2}a\Delta t_{23}^2\\\implies52.8=26.4+4.231\times(18.06-12.48)+\frac{1}{2}a(18.06-12.48)^2\\\implies a=0.179\>\text{m/s$^2$}$$ Y así sucesivamente y así sucesivamente. Observe aquí cómo usé fórmulas relacionadas con la aceleración constante. Así que tenga en cuenta que estas respuestas son solo aproximaciones.

EDITAR :

Después de la revisión, suponiendo que$u(t_1)=0$Es falso. De hecho, es mucho más conveniente suponer que a=constante. Entonces puedes ajustar los datos y encontrar que

$$s(t)=0.146t^2+0.293t,$$ lo que produce un $\pm0.05$error al máximo en los cuatro puntos.

Eche un vistazo a la ecuación completa para el desplazamiento en función del tiempo:

$$s(t) = s_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2$$

Aquí,$s(t)$es la posición en función del tiempo,$s_0$es la posición en$t = 0$,$v_0$es la velocidad en$t = 0$, y$a$es la aceleración (constante). En su caso particular,$s_0 = 0\,m$,$v_0 = 0\,\frac{m}{s}$.

Sus datos consisten en tiempos y posiciones medidos en esos tiempos . Su posición inicial y velocidad en$t = 0$es cero durante todo el movimiento . En consecuencia (en este ejercicio en particular), todo lo que te queda es:

$$s(t) = \frac{1}{2}at^2$$

EDITAR: he asumido que el objeto en movimiento comienza desde el reposo. Esto no se dijo explícitamente. Si conoce la velocidad inicial, la usaría para$v_0$.