Calcular el desplazamiento en posición a partir de conocer la aceleración constante

Si viajas con velocidad constante$V$por un tiempo$T$, viajarás por$V\times T$distancia. Ejemplo: si tu velocidad fuera$2$m/s, y estabas caminando por$3$segundos, caminarías$2\times3 = 6$metros

Ahora, al calcular la distancia recorrida mientras acelera (o desacelera), podemos aproximarla si dividimos el tiempo total de viaje en subintervalos y calculamos la suma de$V_i\times T_i$, dónde$V_i$es la velocidad al principio de$i$th sub-intervalo, y$T_i$es su duración.

Cuanto más pequeños sean los intervalos que tomemos, mejor será nuestra aproximación. Y los humanos inventaron una forma de calcular tales sumas utilizando subintervalos infinitamente pequeños: integrales definidas .

Imagina que tenemos alguna función.$f(x)$e intervalo$[a, b]$. ¿Cómo podemos calcular el área de la región entre la gráfica de$f(x)$y$x$-eje en este intervalo? Podemos dividir el intervalo$[a, b]$en subintervalos, y aproxime el área con la suma de áreas de rectángulos como se muestra en esta imagen en Wikipedia . ¿Suena familiar?

Si tenemos una fórmula$v(t)$(velocidad a partir del tiempo), entonces podemos calcular la distancia recorrida durante el intervalo$[a, b]$como área de la región limitada por la gráfica de$v$,$t$-eje, y dos líneas verticales en los extremos de este intervalo.

Si la velocidad inicial es$v_0$y aceleración$a$es constante, entonces la velocidad en un momento dado$t$es$v(t) = v_0 + a\times t$. Si empezamos a la hora$0$, entonces en el momento$T$la distancia recorrida es

Sabemos que la distancia recorrida es el área bajo la gráfica de la función$\:\upsilon(t)$. En esta cuestión presente no necesitamos integrales, las áreas se encuentran por geometría elemental.