¿Cómo pensar en las matrices como observables?

También tuve la experiencia de "¿Por qué definirías las medidas de esa manera?" al aprender acerca de los observables hermitianos.

Al principio, simplemente los evitaba. Traduciría los observables a una operación unitaria seguida de una medida en la base computacional, y lo pensaría de esa manera. Por ejemplo, para mí, el observable Z era "solo medir", mientras que el observable X era "aplicar Hadamard, luego medir". Y el$X \otimes X$observable fue "golpear ambos qubits involucrados con un Hadamard, CNOT en un tercer qubit, medir ese qubit, luego deshacer los Hadamards".

Eventualmente, comenzó a molestarme que mi nueva descripción de las medidas como un circuito fuera a menudo más larga. Quiero decir, solo mira cuántas palabras me tomó describir lo que hice por$X \otimes X$! Y también comencé a necesitar la matriz del observable para responder preguntas como "si mido A, ¿se estropeará la medición de B?". Luego comencé a darme cuenta de lo útiles que eran como herramienta de pensamiento, y modismos como "valor Z" y "paridad X" comenzaron a infiltrarse en mi escritura... los observables me afectaron.

1) ¿Qué significa considerar a X e Y como observables? ¿No son operaciones que cambian el estado actual a uno nuevo?

Considere esto: si invierte el orden de una Z controlada, todavía tiene la misma operación. Pero si intercambia el control y la puerta en un CNOT, no obtiene la misma operación:

Entonces, en cierto sentido, la puerta Z es "lo mismo" que un control ON, y la puerta X no comparte esta propiedad. Y todo se reduce al hecho de que, cuando desglosas lo que hace Z, no hace nada en los estados de APAGADO, sino que multiplica la amplitud de los estados de ENCENDIDO por -1.

Puede definir un control alternativo que sea "el mismo" que la puerta X. En cuyo caso descubrirá que le importa la distinción entre$|+\rangle = |0\rangle+|1\rangle$y$|-\rangle = |0\rangle-|1\rangle$, en lugar de la distinción entre ON y OFF. Y da la casualidad de que si descompone cómo funciona la puerta X en sus valores propios y vectores propios, eso deja$|+\rangle$sola pero multiplica la amplitud de$|-\rangle$por 1. (Puedes jugar con los controles del eje X y del eje Y en Quirk ) .

Cuando generalizas esta asociación entre "lo que dejas en paz" y "lo que afectas" para aplicarla a cualquier operación, terminas hablando de los valores propios y los espacios propios de esas operaciones. Y esto lleva bastante rápido a preocuparse por en qué espacio propio de una operación se encuentra un estado, y a medir esa información, y luego a pensar en la operación como una especificación para la medición de sus espacios propios.

Los físicos se preocupan más por el logaritmo de una operación unitaria que por la operación en sí misma, porque puedes conectarlo a ecuaciones diferenciales. Y la forma logarítmica tiene otras buenas propiedades. Así que tendemos a hablar de observables en términos del logaritmo de una matriz unitaria, es decir, una matriz hermítica, en lugar de hablar directamente en términos de la operación unitaria.

2) ¿Por qué aplicar X a |0⟩ da como resultado una desviación estándar distinta de cero si X|0⟩=|1⟩? ¿Cómo hay alguna variación aquí?

Porque estás mezclando la operación X con la X observable .

La operación X alterna entre ON y OFF. Si tomas su descomposición propia, encuentras que sale$|+\rangle$solo mientras niega$|-\rangle$.

El observable X es una descripción de una medida que distingue entre los espacios propios de la operación X. Es decir, mide si el sistema está en el$|+\rangle$estado o en el$|-\rangle$estado.

$|0\rangle$Es ninguno$|+\rangle$ni$|-\rangle$, es una superposición de ambos, por lo que cuando mide su valor X obtiene la varianza. Los estados sin variación del valor X no se alternan con X, se escalonan.