¿Por qué X^X^\hat{X} y P^P^\hat{P} tienen que corresponder a la posición y al momento?

Según tengo entendido, en QM tratamos a los observables como operadores, y los valores propios de estos operadores son los posibles valores que podemos medir de los observables. Normalmente es más sencillo trabajar en la base propia de un operador si estamos hablando de su correspondiente observable. Tengo una duda con respecto a la interpretación de dos operadores en QM.

Los dos textos a los que me he dirigido dicen algo como lo siguiente:

Primera parte

Si tenemos una función F ( X ) , podemos pensar que es la proyección del vector | F ⟩ sobre el | X ⟩ base. Para esta base, debemos tener ⟨ X | X ′ ⟩ = d ( X − X ′ ) , de modo que los kets base sean ortogonales y se satisfaga la relación de completitud.

A continuación, definimos un operador k ^ = − i D ^ dónde D ^ es el operador diferencial. Este operador tiene una base propia | k ⟩ . Curiosamente, existe una asombrosa relación entre la función F ( k ) , cual es | F ⟩ ampliado en el | k ⟩ base, y F ( X ) , la función de la que habíamos hablado antes. Son las transformadas de Fourier de cada uno:

F ( k ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ mi − i k X F ( X ) d X
Hasta aquí, puedo seguir cómodamente. Todo lo que se necesitaba era resolver el problema de valor propio para k ^ en el | X ⟩ base, que proporciona la relación entre las dos bases, y luego realiza algunos cálculos.

Segunda parte

Mi problema es con la interpretación de los operadores de los que acabamos de hablar. Solo porque les dimos los nombres X ^ y k ^ , ¿tenemos que interpretarlos como posición X y número de onda k ? Entiendo que a cada observable le corresponde un operador hermitiano, pero y si, por ejemplo, hubiéramos partido de dos operadores llamados A ^ y B ^ en lugar de X ^ y k ^ , y encontró lo siguiente:

F ( a ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ mi − i a b F ( b ) d b

Donde estamos trabajando con las bases | a ⟩ y | b ⟩ . Al ver estas cartas, tal vez decida asociarme con A ^ la aceleración de una partícula, y con B ^ la posición de la partícula, o peor aún, el campo magnético en el que se encuentra la partícula. Sé que este es un ejemplo loco, pero quiero ilustrar mi punto: ¿Qué es lo que nos dice que la posición y el momento (o número de onda) en QM debe estar asociado a esos operadores que mencioné en la primera parte? Gracias de antemano.

PD. Si alguien tiene curiosidad, estoy leyendo los textos de Shankar y Zettili.

Respuestas (2)

La respuesta puede ser más profunda de lo que esperas.

El operador k que definio el OP --- aqui se llamara − i ∇ X --- es el generador de traslaciones espaciales. y el operador X --- él recordó X --- es el generador de traslaciones de momento. Si los exponen, para formar los correspondientes grupos unitarios de traducción de un parámetro, obtienes V ( ξ ) = mi i ξ ⋅ X , y T ( q ) = mi q ⋅ ∇ X . Su acción sobre una función de onda. ψ ( X ) (representación del puesto) o ψ ^ ( k ) (representación del momento) es bastante claro:

( T ( q ) ψ ) ( X ) = ψ ( X + q ) , ( V ^ ( ξ ) ψ ^ ) ( k ) = ψ ^ ( k + ξ ) . 1
Estos dos operadores satisfacen la siguiente relación de conmutación, debida a Weyl (esencialmente por definición):
V ( ξ ) T ( q ) = mi − i ξ ⋅ q T ( q ) V ( ξ ) .

Ahora hay un teorema muy profundo de Stone y von Neumann que te dice que cada representación (irreducible) como operadores en un espacio de Hilbert de tal familia de objetos { V ( ξ ) , ξ ∈ R d } ∪ { T ( q ) , q ∈ R d } que satisfacen la relación de conmutación de Weyl es unitariamente equivalente a la representación descrita anteriormente en L 2 ( R d ) .

Entonces hay una forma única, hasta transformaciones unitarias, de representar tales operadores; y de esa manera es por operadores de traducción en L 2 ( R d ) . Ahora, a partir de la relación de conmutación de Weyl, puede obtener la relación de conmutación para los generadores, y eso es

[ X , − i ∇ ] = i .

Entonces los operadores X y − i ∇ tienen todas las propiedades físicas observadas de los operadores de posición y momento: satisfacen las relaciones canónicas de conmutación (cuantización de los corchetes de Poisson clásicos), y son los generadores de traslaciones de espacio y momento al actuar sobre L 2 ( R d ) . Además, son operadores especiales que solo se pueden representar en espacios de Hilbert de forma unitaria a la L 2 uno. En mi opinión, esa es evidencia suficiente para usarlos sin duda para describir la posición y el momento en la mecánica cuántica.

1 . En la representación habitual, obviamente ( V ( ξ ) ψ ) ( X ) = mi i ξ ⋅ X ψ ( X ) .

Yo diría que la respuesta es bastante simple. Si realiza varios experimentos para medir la posición (o el momento) de una partícula, QM solo le brinda predicciones consistentes y precisas cuando los símbolos matemáticos X y pag están asociados con la posición medida o el momento.

Sin embargo, la posición y el momento no son los únicos operadores conjugados canónicamente en la mecánica cuántica. Otros ejemplos incluyen las cuadraturas del campo eléctrico o los operadores de fase y número de un condensado de Bose-Einstein. En cada caso, los modelos QM dan buenas predicciones cuando los operadores asociados a estos observables satisfacen propiedades similares a X y pag .

¿Por qué X^X^\hat{X} y P^P^\hat{P} tienen que corresponder a la posición y al momento?
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