Valor medio de un observable

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Valor medio de un observable

Física
operadores
observables
mecánica cuántica
problema de medicion

mariya

Me confundí con el concepto del valor promedio de un observable.

Sé que cuando medimos una cantidad física $A$ en un estado específico descrito por $\psi_1$ , solo obtenemos el valor propio $a$ del operador $\hat{A}$ .

Entonces teóricamente el valor de la cantidad física $A$ que estamos midiendo es igual al valor propio de $\hat{A}\psi_1=a\psi_1$ .

Entonces hay una fórmula para encontrar el valor promedio $\langle A\rangle$ . Y esto también es un valor esperado .

¿Significa que normalmente $\langle A\rangle=a$ ?

Entonces me confundo con el "promedio" mundial en "valor promedio" $\langle A\rangle$ ''. ¿Es este el valor promedio de la cantidad física ? $A$ en todos sus estados?

Y finalmente, ¿asumimos aquí que mi sistema tiene solo un sistema descrito por $\psi$ ? Por ejemplo, sólo hay una partícula. ¿Es posible que tenga tres sistemas (tres partículas) descritos por diferentes funciones propias? $\psi$ y valor propio $a$ ?

Estoy confundiendo todo.

Azul azul

Por lo general, cuando se examinan los valores esperados, se los considera representaciones estadísticas del parámetro que se mide. Podemos obtener valores esperados para

x

$x$ ,

\hat{p}

$\hat{p}$ ,

E

$E$ , etc., integrando en todo el espacio permitido, para la partícula en cuestión, la función de onda, su complejo conjugado y el propio operador. p.ej)

⟨ x ⟩ = \int ψ (x) ψ^{*} (x) x d x

$\langle x\rangle = \int\psi (x)\psi^*(x)x dx$

Azul azul

Más,

ψ

$\psi$ pretende describir completamente el estado de un sistema. Para tres partículas, existirían tres funciones de onda diferentes para las partículas, que dependen de la masa de la partícula y del potencial que la limita. Para tres partículas idénticas, la función de onda y los estados propios no diferirán, a menos que considere la dependencia del tiempo en que las condiciones iniciales de

Ψ (x, t = 0)

$\Psi(x,t=0)$ diferir de.

Azul azul

Finalmente, si consideramos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en que

\hat{H} ψ = E ψ

$\hat{\mathcal{H}}\psi = E\psi$ , ¿tiene sentido que un valor propio de energía

E

$E$ =

⟨ E ⟩

$\langle E \rangle$ ? Son cantidades claramente diferentes, como

E

$E$ representa un nivel de energía cuantificado, y

⟨ E ⟩

$\langle E \rangle$ representa lo que esperamos medir para

E

$E$ en base a su paradero. Esta es la representación estadística que mencioné anteriormente.

mariya

Cuando dice "Para tres partículas idénticas, la función de onda y los estados propios no serán diferentes", entiendo por qué la función de onda sería la misma, pero no entiendo por qué los estados propios no serían diferentes. ¿Podríamos interpretar también que estas tres partículas están en una caja periódica?

Azul azul

La caja periódica es representativa de la función de potencial en la que existe la partícula. Considere el pozo cuadrado infinito, donde las partículas están limitadas por paredes de potencial infinitas. Las soluciones independientes del tiempo para

ψ (x)

$\psi(x)$ será el mismo para cada partícula, siempre que sean partículas idénticas y no haya nada interactuando con las partículas aparte de la función potencial. Los estados propios también serán todos iguales, a menos que cada partícula tenga condiciones iniciales diferentes de las otras partículas, que se define por el estado

Ψ (x, t)

$\Psi(x,t)$ para

t = 0

$t=0$

Respuestas (3)

Valor medio de un observable

Por lo general, cuando se examinan los valores esperados, se los considera representaciones estadísticas del parámetro que se mide. Podemos obtener valores esperados para $x$ , $\hat{p}$ , $E$ , etc., integrando en todo el espacio permitido, para la partícula en cuestión, la función de onda, su complejo conjugado y el propio operador. p.ej) $\langle x\rangle = \int\psi (x)\psi^*(x)x dx$
Más, $\psi$ pretende describir completamente el estado de un sistema. Para tres partículas, existirían tres funciones de onda diferentes para las partículas, que dependen de la masa de la partícula y del potencial que la limita. Para tres partículas idénticas, la función de onda y los estados propios no diferirán, a menos que considere la dependencia del tiempo en que las condiciones iniciales de $\Psi(x,t=0)$ diferir de.
Finalmente, si consideramos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en que $\hat{\mathcal{H}}\psi = E\psi$ , ¿tiene sentido que un valor propio de energía $E$ = $\langle E \rangle$ ? Son cantidades claramente diferentes, como $E$ representa un nivel de energía cuantificado, y $\langle E \rangle$ representa lo que esperamos medir para $E$ en base a su paradero. Esta es la representación estadística que mencioné anteriormente.
Cuando dice "Para tres partículas idénticas, la función de onda y los estados propios no serán diferentes", entiendo por qué la función de onda sería la misma, pero no entiendo por qué los estados propios no serían diferentes. ¿Podríamos interpretar también que estas tres partículas están en una caja periódica?
La caja periódica es representativa de la función de potencial en la que existe la partícula. Considere el pozo cuadrado infinito, donde las partículas están limitadas por paredes de potencial infinitas. Las soluciones independientes del tiempo para $\psi(x)$ será el mismo para cada partícula, siempre que sean partículas idénticas y no haya nada interactuando con las partículas aparte de la función potencial. Los estados propios también serán todos iguales, a menos que cada partícula tenga condiciones iniciales diferentes de las otras partículas, que se define por el estado $\Psi(x,t)$ para $t=0$

usuario108787 · Answer 1

Estás confundiendo mucho, ¿verdad? :)

Comience con obtener esta ecuación $\hat{A}|\psi_1 \rangle =a |\psi_1\rangle$ clavado primero.

Aplicas un operador hermitiano, $\hat{A}$ a un ket $|\psi_1 \rangle$ y te da un valor propio apropiado $a$ .

Entonces el $\hat{X}$ operador te da la posición observable $x$ , aplicando igualmente $\hat{P}$ te da el impulso real observable $p$ , asociado con $|\psi_1 \rangle$ .

Supongo que sabe lo que implica usar un operador hermitiano.

¿Significa que normalmente $<A>=a$ ?

Debería leer este artículo del sitio web más adelante: Valor promedio para una descripción más completa, pero un resumen por ahora es:

No, $<A>$ no es igual a $a$ , en general.

$<A>$ es una predicción del valor promedio de mediciones repetidas, mientras que $\hat{A}|\psi_1 \rangle =a |\psi_1\rangle$ es el valor de 1 (solo 1) medición individual.

Por ejemplo, supongamos que tiene una función de onda que sabe que describe el estado fundamental de una partícula. $m$ .

Ahora quieres encontrar el impulso promedio

< PAG >= ⟨ ψ_{1} | \hat{PAG} | ψ_{1} ⟩

$<P> = \langle \psi_1 | \hat P|\psi_1\rangle$

Para nuestros propósitos, el valor esperado y el valor promedio son la misma idea.

Así que cuando haces ejercicio $<P> = \langle \psi_1 | \hat P|\psi_1\rangle$ en el potencial de caja simple de estado fundamental 1D, encontrará que es igual a 0.

Eso es porque el momento promedio de la partícula en estas condiciones es cero. La partícula tiene el mismo impulso en dos direcciones opuestas, por lo que su valor promedio es cero.

Entonces me confundo con el "promedio" mundial en "valor promedio" $\langle A\rangle$ ''. ¿Es este el valor promedio de la cantidad física ? $A$ en todos sus estados?

No.... Es el valor promedio en un estado, donde intercalas la A, por ejemplo, las funciones para el estado fundamental.

Si luego desea encontrar el valor promedio para el primer estado excitado, intercala la A entre las funciones que describen el primer estado excitado.

Luego sigue haciendo esto para cualquier estado de energía para el que conozcas las funciones.

Fuente de la imagen: niveles de energía

Y finalmente, ¿asumimos aquí que mi sistema tiene solo un sistema descrito por $\psi$ ? Por ejemplo, sólo hay una partícula.

Sí, solo hay 1 partícula. Sin ofender, pero por el momento me limitaría absolutamente, definitivamente y por completo a aprender sobre el estado de una partícula.

¿Es posible que tenga tres sistemas (tres partículas) descritos por diferentes funciones propias? $\psi$ y valor propio $a$ ?

No. No me preocuparía en este momento acerca de los sistemas de 3 partículas, eso normalmente está más avanzado en el curso, es decir, semanas o meses si recién está comenzando.

Josh Pilipovsky · Answer 2

El valor promedio de algún observable se define específicamente como el valor promedio de las mediciones en un conjunto de estados. Piense en ello como un estante y en ese estante tiene 1,000,000 de frascos. En cada frasco tienes el mismo estado. $\Psi$ . Entonces tienes 1,000,000 de estudiantes graduados que miden, dicen el $x$ posición de todos estos estados idénticos. El promedio de todos estos valores será su valor esperado, $⟨x⟩$ . Entonces, el valor esperado es el valor promedio de la medición en el mismo estado, que es la parte crucial.

Un buen ejemplo de esto sería con un giro $\frac{1}{2}$ partícula como un electrón. Digamos que tenemos un electrón en el $|+x⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}} |+z⟩ + \frac{1}{\sqrt{2}} |-z⟩$ estado, y queremos saber el valor esperado del observable $S_z$ en este estado. Bueno, puedes calcularlo con la fórmula

⟨ S_{z} ⟩ = \sum_{+, -} | C_{norte} |^{2} S_{norte},

$⟨S_z⟩ = \sum_{+,-} |c_n|^2 S_n,$ o puedes pensar en ello conceptualmente. Nuevamente, tiene 1,000,000 de frascos con este estado en ellos. Obtiene 1,000,000 de estudiantes de doctorado ahora para hacer una medición en los estados, del giro en el

z

$z$ dirección. Esperarías que la mitad de ellos giraran (

+ \frac{ℏ}{2}

$+\frac{\hbar}{2}$ ) y hacer que de ellos giren hacia abajo (

- \frac{ℏ}{2}

$-\frac{\hbar}{2}$ ), que también podemos ver a partir de los coeficientes de la

| + x ⟩

$|+x⟩$ estado. Por lo tanto, el valor esperado

⟨ S_{z} ⟩ = 0

$⟨S_z⟩ = 0$ en este caso. Espero que esto aclare tus dudas.

Gert · Answer 3

Una aclaración rápida sobre el promedio, la media y el valor esperado .

Aquí hay dos matrices de lanzamientos de dados obtenidos con el siguiente generador aleatorio:

{X_{1}} = (2, 2, 1, 6, 5, 2, 4, 6, 6, 5)

$\{x_1\}=(2,2,1,6,5,2,4,6,6,5)$

{X_{2}} = (3, 4, 4, 4, 5, 2, 6, 2, 2, 4, 4, 5, 5, 3, 2, 2, 5, 2, 1, 1)

$\{x_2\}=(3,4,4,4,5,2,6,2,2,4,4,5,5,3,2,2,5,2,1,1)$ El promedio muestral (media muestral) de ambos es:

{\bar{X}}_{1} = 3.9

$\bar{x}_1=3.9$

{\bar{X}}_{2} = 3.25

$\bar{x}_2=3.25$ Por supuesto sabemos que la verdadera media (o media poblacional ) viene dada por:

⟨ m ⟩ = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = 3.5

$\langle\mu\rangle=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5$

Esto es lo que se conoce en física cuántica como el valor esperado . Pero está claro que este término es, al menos en cierto sentido, un nombre muy inapropiado : ¿alguien realmente espera lanzar un $3.5$ ? Por supuesto que no: la probabilidad de lanzar un $3.5$ es $0$ !

De manera similar, la función de onda de una partícula en una caja 1D de longitud $a$ es:

ψ_{norte} (X) = \sqrt{\frac{2}{a}} pecado (\frac{norte π X}{a}) para norte = 1, 2, 3, . . .

$\psi_n(x)=\sqrt{\frac2a}\sin\Big(\frac{n\pi x}{a}\Big)\:\text{for } n=1,2,3,...$

El valor esperado de la posición. $\langle x\rangle$ se puede calcular fácilmente como:

⟨ X ⟩ = \frac{a}{2}

$\langle x\rangle=\frac{a}{2}$

Pero también se puede demostrar que la probabilidad de encontrar la partícula en $x=a/2$ es de hecho $0$ !

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Respuestas (3)

usuario108787

Josh Pilipovsky

Gert

¿Cómo se mide realmente la posición o el momento de un objeto cuántico?

¿Por qué el valor medido de algún AAA observable es siempre un valor propio del operador correspondiente?

¿Cómo pensar en las matrices como observables?

Observables compatibles

¿Por qué X^X^\hat{X} y P^P^\hat{P} tienen que corresponder a la posición y al momento?

¿La energía cinética en QM es una propiedad de estado o está distribuida?

Conmutador y orden de medida

¿Por qué los operadores pueden representarse como matrices en la mecánica cuántica?

¿El valor esperado es siempre un valor propio?

¿Se cumple la ecuación de incertidumbre de Heisenberg cuando uno de los observables tiene varianza cero?