Vectores covariantes vs contravariantes

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Vectores covariantes vs contravariantes

Física
vectores
covarianza
tensor-métrico
cálculo tensorial
geometría diferencial

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Entiendo que, en coordenadas curvilíneas, se puede definir una base covariante y una base contravariante. Me parece que cualquier vector se puede descomponer en cualquiera de esas bases, por lo que uno puede tener componentes covariantes y componentes contravariantes del mismo vector, según la base elegida. Sin embargo, lo que me confunde es cuando la gente habla de vectores covariantes y contravariantes. ¿Significan simplemente los componentes covariantes/contravariantes de los vectores o, de hecho, hay dos tipos/clases distintas de vectores? Si esto último, los vectores covariantes solo se pueden descomponer en bases covariantes y los vectores contravariantes solo en bases contravariantes?

Respuestas (2)

Vectores covariantes vs contravariantes

Carlos Francisco · Answer 1

No hablamos de bases covariantes y contravariantes. Empezar con la base $\{\mathbf e_i\}$ . Entonces se puede escribir un vector general

v = v^{i} {mi}_{i}

$\mathbf v = v^i \mathbf e_i$ Ahora, si duplica la longitud de un vector base, debe reducir a la mitad el componente. Se dice que los componentes son contravariantes, porque cambian de forma opuesta a la base. En notación de índice, este vector simplemente se escribe

v^{i}

$v^i$ , y lo llamamos vector contravariante, lo que significa que los componentes son contravariantes.

El producto interior

tu \cdot v = {gramo}_{i j} {tu}^{i} v^{j}

$\mathbf u \cdot \mathbf v = g_{ij}u^iv^j$ pide la definición

{tu}_{j} = {gramo}_{i j} {tu}^{i}

$u_j = g_{ij}u^i$ El

u_{j}

$u_j$ son componentes de un vector en el espacio dual. Como el producto interno es invariante, los componentes

u_{j}

$u_j$ cambian de manera opuesta a los componentes contravariantes, lo que significa que cambian de la misma manera que los vectores base. Se denominan componentes covariantes y nos referimos a ellos como vectores covariantes.

Técnicamente, los vectores contravariantes están en un espacio vectorial y los vectores covariantes están en un espacio diferente, el espacio dual. Pero hay una clara correspondencia 1-1 entre el espacio y su dual, y tendemos a pensar en los vectores contravariantes y covariantes como descripciones diferentes del mismo vector.

que pasa con los componentes $u^i$ ? ¿No son esos los componentes del mismo vector? $\mathbf{u}$ ?
¡Dios, he estado esperando leer algo así durante años! Gracias.

RogerJBarlow · Answer 2

tienes una base ${\bf e}_i$ en algún espacio vectorial.

Las componentes contravariantes de un vector ${\bf v}$ son dados por ${\bf v}=v^i{\bf e_i}$ , como dice Charles Francis.

Los componentes covariantes de un vector ${\bf v}$ son dados por $v_i=\mathbf v\cdot\mathbf e_i$

Creo que es una forma más básica de pensar en ellos que entrar en sus propiedades de transformación, aunque eso, por supuesto, es cierto.

Por cierto, entonces es obvio que $\mathbf u\cdot\mathbf v=\sum u_i v^i$ (o $\sum u^iv_i$ )

Yo diría (aunque los matemáticos no estarían de acuerdo y probablemente rechazarán esta respuesta como herética) que un vector 'físico' no es ni covariante ni contravariante. Es una flecha apuntando. Si desea hacer algo útil con él, debe anotar sus componentes, que pueden ser covariantes o contravariantes.

El problema con la flecha surge, seguramente, cuando tratamos de aplicarla a grad. $\phi$ cuando se trabaja en coordenadas no ortogonales, { $\mathbf{e}_i$ }. Los componentes de la graduación $\phi$ sobre esta base existen pero no nos dan lo que nos gustaría tener, a saber { $\frac{\partial \phi}{\partial x_i}$ }. [Estos derivados son componentes sobre la base dual de { $\mathbf{e}_i$ }!] Así que diría que no siempre es $useful$ pensar en los vectores como flechas.
Si está parado en una ladera (altura $\equiv \phi$ ) entonces sabes la dirección y la magnitud de grad $\phi$ simplemente soltando una canica y viendo en qué dirección va y qué tan rápido acelera. Puedes dibujar eso como una flecha. Sin escribir ningún componente y, por lo tanto, sin involucrar una base. Pero estoy de acuerdo en que esto es algo complicado.
RogerJBarlow Gracias por responder. No es que esté diciendo que un degradado no se puede considerar como una flecha, sino que la flecha no es tan $suggestive\ of\ useful\ ways\ to\ proceed$ en el caso de un degradado, si estamos trabajando sobre una base no ortogonal. No creo que estemos realmente en desacuerdo.

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