¿Cómo se relacionan estas dos definiciones diferentes de vector covariante?

El término "vector covariante" es un nombre inapropiado horrible. Muchos textos no dan un tratamiento adecuado de esto (que creo que es importante saber). Lo que en realidad estamos tratando son objetos conocidos como covectores, que no son lo mismo que vectores. Voy a dar una explicación rápida a continuación.

Considere un espacio vectorial$V$sobre un campo$F$. El campo surge porque$V$tiene la operación de multiplicación escalar tal que para cualquier$v \in V$y$k \in F$, tenemos$kv \in V$. En otras palabras,$F$es solo el conjunto de escalares utilizados en la multiplicación escalar. En la práctica,$F$es usualmente$\mathbb{R}$o$\mathbb{C}$.

Si definimos una base$\mathbf{e}_i$en$V$, entonces por cada$v \in V$existen coeficientes únicos$v^i$tal que$v = v^i \mathbf{e}_i$. Ahora introducimos el espacio dual$V^*$que es el conjunto de todos los mapas lineales de$V$a$F$. Si$\omega \in V^*$, entonces nosotros tenemos$\omega(v) \in F$. Elementos de$V$son también mapas lineales de$V^*$a$F$, entonces también tenemos$v(\omega) \in F$.

los elementos de$V^*$se conocen como covectores.

Ahora definimos la base dual$\mathbf{e}^i$, que a menudo también se denomina (incorrectamente) como la base contravariante por

Por lo tanto también podemos descomponer un covector$\omega$en sus componentes como$\omega = \omega_i \mathbf{e}^i$. Con eso, tenemos

A partir de aquí, ¿cómo derivamos las propiedades de transformación de los objetos? Supongamos que definimos una base alternativa$\bar{\mathbf{e}}_i = A^j_i \mathbf{e}_j$dónde$A$es cualquier matriz invertible. Los escalares, vectores y covectores existen independientemente de cualquier base y, por lo tanto, deben permanecer invariantes ante cualquier cambio de base. Entonces vemos que$v^i$y$\mathbf{e}^i$transformar con$A^{-1}$mientras$\omega_i$se transforma con$A$.

Ahora viene la parte clave. El tensor métrico$g$se define como el tensor simétrico tal que para dos vectores cualesquiera$u$y$v$,$g(u,v)$es su producto escalar (o producto interior) y es un escalar. Podemos usarlo para "convertir" cualquier vector en un covector correspondiente. Si tenemos un vector$v$, su covector correspondiente es

Por tanto vemos que las componentes del covector correspondiente son$g_{ij} v^j$. Esto es lo que realmente significa subir y bajar los índices. Lo que realmente estamos haciendo es encontrar las componentes del covector correspondiente en el espacio dual. Podemos aplicar el mismo procedimiento a tensores arbitrarios contrayendo una ranura de$g$con una ranura del tensor.

La observación importante aquí es que una vez que se define una métrica, podemos "pretender" que los vectores y los covectores son iguales. Si originalmente tengo componentes tensoriales $T^{ijk}$, podemos usar automáticamente$T^{\; jk}_i$,$T_{ijk}$,$T^{i \; k}_{\; j}$y así sucesivamente en cálculos sin ambigüedad. Pero los propios tensores viven en espacios diferentes. Después de todo,$T^{ijk}$no es un tensor,$T^{ijk} \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j \otimes \mathbf{e}_k$es.

Algunas cosas adicionales que pueden ser útiles para tener en cuenta:

1. No es necesario tener un sistema de coordenadas para introducir una base. Un sistema de coordenadas$x^i$es parte de una estructura de una variedad$M$. Para cualquier punto$p \in M$, su espacio tangente,$T_pM$, es un espacio vectorial. Este espacio vectorial es el conjunto de derivadas en$p$a lo largo de todas las curvas suaves que pasan por$p$. Esta es también la razón por la que los vectores tangentes son derivadas parciales. La base son entonces las derivadas a lo largo de las propias curvas de coordenadas,$\mathbf{e}_i = \partial /\partial x^i$.
2. Sólo si$\mathbf{e}_i = \partial /\partial x^i$entonces la matriz$A$anterior se convierte en la matriz jacobiana inversa$\partial x /\partial \bar{x}$, y$A^{-1}$se convierte en el jacobiano$\partial \bar{x} /\partial x$.
3. Los términos "contravariante" y "covariante" están desactualizados y provienen del hecho de que$v^i$transformar con$A^{-1}$("contra") mientras$\omega_i$transformar con$A$("co"). Es una mala práctica continuar usándolos en el contexto moderno donde los tensores se manejan usando notación de índice abstracto (u otros métodos sin coordenadas).
4. En el espacio euclidiano con coordenadas cartesianas, no hay diferencia entre vectores y covectores porque las componentes del tensor métrico son solo la matriz identidad. Solo en este caso especial, no hay necesidad de distinguir entre vectores y covectores y la ubicación del índice no importa.

Para dar una respuesta más prolija para complementar la respuesta agradable y más detallada de Vincent Thacker:

El punto de partida es que tenemos una variedad,$M$. El espacio tangente en el punto$p$en$M$se denota$T_pM$y el espacio cotangente (el espacio dual del espacio tangente) en el mismo punto se denota$T^*_pM$. Definir un campo (co)vector en esta variedad implica elegir un (co)vector en cada espacio (co)tangente (el término preciso es una sección ). En nuestra variedad podemos definir coordenadas de la forma habitual con gráficos , que etiquetan efectivamente cada punto de la variedad con un conjunto único de números y nos permite hacer cálculos físicos de manera más conveniente, en lugar de trabajar completamente en abstracto.

Esperemos que lo anterior se entienda hasta cierto punto.

Una vez que hemos elegido las coordenadas en nuestra variedad, hay un sentido natural en el que podemos usar esas coordenadas para definir una base para nuestro espacio tangente y cotangente (a través de derivadas parciales y exteriores de las funciones de coordenadas, respectivamente). Tenga en cuenta que cuando cambiamos las coordenadas en nuestra variedad, la base de nuestros espacios tangente y cotangente también cambiará. Entonces, en este sentido, un cambio de coordenadas cambiará las componentes de los vectores en un campo vectorial en$M$, ya que el cambio de coordenadas induce un cambio en la base de los espacios tangentes (lo mismo ocurre con los vectores cotangentes).

En física, a menudo tomamos esto para definir los vectores y covectores por "cómo se transforman", y las dos definiciones son las que ha dado en su pregunta.

La tercera definición que ha dado simplemente destaca el hecho de que en física a menudo tenemos una métrica en nuestra variedad (por ejemplo, en la relatividad general), y esta métrica define un isomorfismo lineal entre el espacio tangente en cada punto y el espacio cotangente en el mismo punto. Este es el sentido preciso en el que la métrica "sube y baja" índices sobre vectores y covectores, cada vector$\vec v\in T_pM$está siendo asignado por este isomorfismo un único$^{[1]}$covector$\tilde\omega\in T^*_pM$.

Entonces, todas sus definiciones son válidas hasta cierto punto, su confusión simplemente se deriva de la forma (francamente, horrible) en que la geometría diferencial se introduce necesariamente en la física para no trabajar demasiado en los detalles matemáticos.

Espero que esto sea útil.

$[1]$- Tenga en cuenta que un isormorfismo es, por definición, una biyección (que es en particular un mapa de 1 a 1) que conserva alguna estructura matemática (en este caso, las operaciones de espacio vectorial en$T_pM$y$T^*_pM$).