¿Por qué el término de interacción en el hamiltoniano de helio se cuenta una vez?

El hamiltoniano para un átomo de helio con dos electrones viene dado por

H ^ = − ℏ 2 2 metro mi ( ∇ 1 2 + ∇ 2 2 ) − mi 2 4 π ϵ 0 ( 2 | r → 1 | + 2 | r → 2 | − 1 | r → 2 − r → 1 | )
Esto tiene sentido para mí: los términos de izquierda a derecha son la energía cinética, la energía potencial debida al núcleo y la energía potencial debida a la repulsión electrón-electrón. Lo que no entiendo es que el término de repulsión tiene un uno como numerador. Cuando escribes el hamiltoniano para el primer electrón obtienes
H ^ 1 = − ℏ 2 2 metro mi ∇ 1 2 − mi 2 4 π ϵ 0 ( 2 | r → 1 | − 1 | r → 2 − r → 1 | )
y viceversa para el segundo electrón.

Debido a que tanto el hamiltoniano tiene un 1 | r → 2 − r → 1 | término se esperaría que el hamiltoniano total H ^ = H ^ 1 + H ^ 2 tendría dos de esos términos, resultando en 2 | r → 2 − r → 1 | . ¿Por qué el numerador es uno solo?

Pista: ¿Por qué intentas dividir el hamiltoniano en 2 partes cuando el átomo de He consta de 3 partículas?

Respuestas (1)

Esto simplemente proviene de la energía potencial clásica, que intuitivamente es el trabajo realizado para llegar a una determinada configuración a partir de una configuración de referencia. La referencia (energía potencial 0) se toma como el núcleo y los electrones, todos en separaciones infinitas. Al llevar el primer electrón a la posición r 1 en un sistema de coordenadas centrado en el núcleo, su trabajo se ve favorecido por la atracción del núcleo (sin interacción con el segundo electrón). Solo cuando mueves el segundo electrón allí, el trabajo se ve influenciado por la presencia del otro electrón.

Eso tiene sentido. El término de repulsión sólo aparece cuando uno de los electrones ya está en r 1 , por lo que no puede aparecer en ambos H 1 y H 2 solo en H 2 .
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