Interacción del sistema de dos niveles con la radiación.

¿Alguien puede ver cómo se obtiene lo siguiente:

En una sección sobre Perturbación por un campo eléctrico oscilante. En el libro "Física atómica" de Foot. Se establece lo siguiente: Considere la ecuación de Shrodinger

i ℏ ∂ Ψ ∂ t = H Ψ .
El hamiltoniano tiene dos partes.
H = H 0 + H I ( t ) .

La perturbación que describe el hamiltoniano es:

H 1 ( t ) = mi r ⋅ mi 0 porque ⁡ ( ω t )
La interacción mezcla los dos estados:
Ψ ( r , t ) = C 1 ( t ) ψ 1 ( r ) mi − i mi 1 t ℏ + C 2 ( t ) ψ 2 ( r ) mi − i mi 2 t ℏ
que se puede escribir como
Ψ ( r , t ) = C 1 ( t ) | 1 ⟩ mi − i ω 1 t + C 2 | 2 ⟩ mi − i ω 2 t .

Pregunta: ¿Alguien puede ver cómo se deduce que la sustitución en la ecuación de Shrodinger conduce a

1 ˙ C 1 ˙ = Ω porque ⁡ ( ω t ) mi − i ω 0 t C 2 ,     1 ˙ C 2 ˙ = Ω ∗ porque ⁡ ( ω t ) mi − i ω 0 t C 1 ?
dónde ω 0 = mi 2 − mi 1 ℏ y la frecuencia Rabi Ω es definido por Ω = ⟨ 1 | mi r ⋅ mi 0 | 2 ⟩ ℏ . También cuál es la importancia de 1 ˙ C 1 ˙ y 1 ˙ C 2 ˙ al describir la interacción del sistema de dos niveles con la radiación?

Gracias por cualquier ayuda.

qué es 1 ˙ ?
@ZeroTheHero No lo sé, esto es parte de lo que estoy preguntando, supongo que es solo una etiqueta para lo que él define que está a la derecha de las ecuaciones, por qué eligió eso, no estoy seguro. ..
en realidad: si esto se refiere a las ecuaciones (7.9) y (7.10) no es 1 ˙ sino más bien "i", es decir, la unidad imaginaria.
@ZeroTheHero Oh, está bien, sí, esas son las ecuaciones a las que me refiero. Es su C ˙ ¿Quizás la tasa de cambio de las constantes de probabilidad?
El C 's no son constantes, de lo contrario tendrían 0 derivados. Son solo funciones para resolver que te dan probabilidades en función del tiempo.
@ZeroTheHero Sí, lo siento, fue un error tipográfico, quise decir coeficientes de probabilidad.

Respuestas (1)

Como escribiste, generalmente podemos expresar el estado como | ψ ⟩ = C 1 ( t ) mi − i ω 1 t | 1 ⟩ + C 2 ( t ) mi − i ω 2 t | 2 ⟩ . La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo es i ℏ ∂ | ψ ⟩ ∂ t = H | ψ ⟩ . Para calcular los coeficientes C 1 y C 2 podemos tomar el producto interno de ambos lados con un solo vector base, como | 1 ⟩ :

i ℏ ⟨ 1 | ∂ | ψ ⟩ ∂ t = ⟨ 1 | H | ψ ⟩ .

Desde ⟨ 1 | 1 ⟩ = 1 y ⟨ 1 | 2 ⟩ = 0 , obtenemos para el lado izquierdo la derivada temporal únicamente del coeficiente de | 1 ⟩ :

⟨ 1 | ∂ | ψ ⟩ ∂ t = ( C 1 ˙ ( t ) − i ω 1 C 1 ( t ) ) mi − i ω 1 t
Mientras tanto, para el lado derecho, ya sabes H 0 | ψ ⟩ = mi 1 C 1 ( t ) mi − i ω 1 t | 1 ⟩ + mi 2 C 2 ( t ) mi − i ω 2 t | 2 ⟩ , entonces ⟨ 1 | H 0 | ψ ⟩ = mi 1 C 1 ( t ) mi − i ω 1 t .

La última pieza que necesitamos es ⟨ 1 | H I ( t ) | ψ ⟩ = mi porque ⁡ ( ω t ) ⟨ 1 | r ⋅ mi 0 | ψ ⟩ . Ahora, ⟨ 1 | r ⋅ mi 0 | 1 ⟩ = 0 (si no está seguro de por qué esto es cierto, piense explícitamente en este producto interno como una integral y considere la simetría del integrando). Nos quedamos por tanto con

⟨ 1 | H I ( t ) | ψ ⟩ = mi porque ⁡ ( ω t ) C 2 ( t ) mi − i ω 2 t ⟨ 1 | r ⋅ mi 0 | 2 ⟩

Combinando todos estos cálculos:

i ℏ ( C 1 ˙ ( t ) − i ω 1 C 1 ( t ) ) mi − i ω 1 t = mi 1 C 1 ( t ) mi − i ω 1 t + mi porque ⁡ ( ω t ) C 2 ( t ) mi − i ω 2 t ⟨ 1 | r ⋅ mi 0 | 2 ⟩

Recordando eso mi 1 = ℏ ω 1 , el segundo término del lado izquierdo se cancela con el primer término del lado derecho. Nos quedamos solo con

i ℏ C 1 ˙ ( t ) = ⟨ 1 | mi r ⋅ mi 0 | 2 ⟩ porque ⁡ ( ω t ) mi i ( ω 1 − ω 2 ) t C 2 ( t )

Esta es exactamente la expresión que escribiste antes hasta la sustitución de las definiciones de Ω y ω 0 . Por un procedimiento idéntico se puede construir la ecuación correspondiente para C 2 ˙ ( t ) (o simplemente intercambie '1's con '2's).

Interacción del sistema de dos niveles con la radiación.
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