¿Por qué un electrón en el estado fundamental n=1n=1n = 1 parece estar apantallado por un electrón?

1. Para el K-shell interno (también conocido como$1s$o$n=1$orbital), la fórmula

   $$Z_{\rm eff}~\approx~Z-1 \tag{1}$$ es esencialmente la ley experimental de Moseley de 1913, que es anterior a QM. El efecto principal se debe a la repulsión electrón-electrón con el otro$1s$electrón, es decir, un efecto de pantalla del núcleo. Un argumento cualitativo es que el$1s$electrón pasa la mitad del tiempo más lejos del núcleo que el otro$1s$electrón, y por lo tanto experimentan un efecto de pantalla, cf. La pregunta de OP.

2. Un cálculo al dorso del sobre muestra que las repulsiones de todos los demás$n>1$los orbitales son un orden de magnitud demasiado pequeños para explicar la observación (1).

3. Por lo tanto, por simplicidad podemos considerar un átomo de 2 electrones

   $$H ~=~\frac{{\bf p}_1^2}{2m} + \frac{{\bf p}_2^2}{2m} + k_ee^2\left(-\frac{Z}{r_1}-\frac{Z}{r_2}+\frac{1}{|{\bf r}_1-{\bf r}_2|} \right). \tag{2}$$ Aquí$k_e$es la constante de Coulomb y$a_0$es el radio de Bohr .

4. La energía del estado fundamental del átomo de 2 electrones (2) se escribe entonces, por definición, como

   $$E_0 ~=~-\underbrace{\frac{k_ee^2}{2a_0}}_{\approx 13.6 eV} \left(Z_{\rm eff}^2 +Z^2\right). \tag{3}$$ La interpretación de la ec. (3) es que la primera ionización está filtrada, mientras que la segunda ionización ve el núcleo desnudo.

5. Una estimación cruda de orden de magnitud de eq. (1) para$Z\gg 1$se puede argumentar de la siguiente manera:

   • Use el teorema virial para argumentar que los términos cinéticos son menos la mitad de los términos potenciales, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.
   • Asumir que$^1$ $$\langle\frac{1}{r_1}\rangle~\sim~\frac{1}{a}~\equiv~\frac{Z}{a_0}~\sim~ \langle\frac{1}{r_2}\rangle \qquad\text{and}\qquad \langle\frac{1}{|{\bf r}_1-{\bf r}_2|}\rangle~\sim~ \frac{1}{2a},\tag{4}$$ que parecen razonables a la luz de las fórmulas para el átomo de hidrógeno .
   • Esto lleva entonces a $$E_0 ~\sim~-\underbrace{\frac{k_ee^2}{2a_0}}_{\approx 13.6 eV} \left(2Z^2-Z\right), \tag{5}$$ sugiriendo una intersección de un$\frac{1}{2}$en vez de$1$en la ec. (1). De todos modos, está en el estadio correcto.

6. Mencionemos por diversión que el átomo de helio$\text{He}$y que el ion de litio$\text{Li}^+$tener una intercepción de$.66$y$.64$, respectivamente.

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$^1$Considere, por ejemplo, la función de onda

$$\psi(r_1,r_2)~=~\psi_{100}(r_1)~\psi_{100}(r_2), \qquad \psi_{100}(r_1)~:=~\frac{e^{-r/a}}{\sqrt{\pi a^3}}. \tag{6}$$ Entonces $$\langle\psi \mid \frac{1}{r_1}\mid \psi\rangle~=~\frac{1}{a}~=~ \langle\psi \mid\frac{1}{r_2}\mid \psi\rangle, \tag{7}$$ y $$\langle\psi \mid\frac{1}{|{\bf r}_1-{\bf r}_2|}\mid \psi\rangle~=~ \frac{8}{a^6} \int_{\mathbb{R}_+}\! dr_1~r_1^2 e^{-2r_1/a}\int_{\mathbb{R}_+}\! dr_2~r_2^2 e^{-2r_2/a}\int_{[-1,1]}\! d\chi~ \left(r_1^2 + r_2^2 -2r_1r_2\chi \right)^{-\frac{1}{2}}$$ $$~=~\ldots~=~\frac{16}{a^6} \int_{\mathbb{R}_+}\! dr_1~r_1^2 e^{-2r_1/a}\int_{\mathbb{R}_+}\! dr_2~r_2^2 e^{-2r_2/a}\frac{1}{\max(r_1,r_2)}~=~\ldots~=~\frac{5}{8a}.\tag{8}$$

Considere los dos electrones en un$1s$orbital, y tomaremos el ejemplo más simple de un átomo de helio.

La existencia de orbitales atómicos se basa en la suposición de que las repulsiones electrón-electrón individuales se promedian en la escala de tiempo de nuestras mediciones, por lo que cada uno de los dos electrones en el$1s$orbital ve al otro como una distribución promediada de carga negativa centrada en el núcleo.

Entonces, los electrones se mueven en un potencial promediado que consiste en una carga positiva puntual en el núcleo y una carga negativa difusa centrada en el núcleo. A distancias muy cercanas al núcleo, el potencial está dominado por el núcleo y tenemos$Z_{eff}\approx2$. A distancias alejadas del núcleo, las cargas positivas y negativas contribuyen y terminamos con$Z_{eff}\approx 1$. A distancias intermedias terminamos con algún valor intermedio de$Z$.

Entonces, esperamos que la carga efectiva experimentada por cada electrón en un átomo de helio esté en algún lugar entre$Z=1$y$2$. No puedo encontrar un cálculo detallado, pero algunas búsquedas en Google sugieren$Z_{eff}\approx 1.7$. La carga efectiva se reduce (un poco) para los electrones en el orbital atómico más bajo porque incluso los electrones en el orbital más bajo se ven afectados por la carga negativa promediada de los otros electrones.

En un átomo grande, como el ejemplo del sodio ($Z=11$) que cita, los electrones 1s se mueven en un potencial que es la suma de la carga nuclear y la carga promedio de los otros$10$electrones En cuanto al helio, incluso la energía más baja$1s$los electrones verán un$Z_{eff} \lt 11$.