¿Por qué el modelo estándar no tiene un zoológico potencial completo?

En primer lugar, la simetría crucial que debe satisfacer es la simetría de Poincaré , por lo que su lagrangiano debe ser un escalar de Lorentz y una traducción invariante. Por supuesto, hay simetrías de calibre como ya ha mencionado en la pregunta.

Aparte de eso, debe tener las dimensiones adecuadas para su Lagrangiano, y los parámetros (constantes de acoplamiento) deben ser adimensionales; de lo contrario, puede agregar operadores de los campos de orden cada vez mayor. Le gustaría hacer tal cosa solo si está trabajando en teorías efectivas como la teoría de perturbación quiral de mesones y hadrones.

Entonces, si estás en 4 dimensiones, el funcional de acción del Modelo Estándar Lagrangiano sería de la siguiente forma:

$$S = \int \mathrm{d}^4x \; \mathcal{L}_{\text{SM}}$$ donde asumo que el espacio-tiempo es efectivamente plano, es decir, la métrica métrica de Minkowski. La acción tiene dimensiones de $\hbar$.

Por lo tanto, necesita tener las dimensiones de la densidad lagrangiana para ser$\left[\mathrm{GeV}\right]^4$, si estableces$\hbar=c=1$, debido al elemento de volumen que tiene dimensiones de$\left[\mathrm{GeV}\right]^{-4}$. Si compara los términos cinéticos de sus campos, tendrían las siguientes dimensiones:

$$\begin{eqnarray} \tag{Higgs} \phi &\rightarrow & \left[\mathrm{GeV}\right]^1 \\ \tag{Fermions} \psi &\rightarrow & \left[\mathrm{GeV}\right]^{3/2} \\ \tag{Vector bosons} A_\mu^a &\rightarrow & \left[\mathrm{GeV}\right]^1 \\ \end{eqnarray}$$ ya que las derivadas son $\left[\mathrm{GeV}\right]^1$dimensiones y las constantes de acoplamiento $g$son $\left[\mathrm{GeV}\right]^0$, es decir, adimensional.

Entonces, para conseguir$\left[\mathrm{GeV}\right]^4$operadores en la densidad lagrangiana, solo podrías escribir los siguientes términos:

• segundas derivadas de campos bosónicos (o primera derivada con campos cuadráticos), $$\partial_\mu \phi^\dagger \partial^\mu \phi \\ \partial_\mu A_\nu \partial^\mu A^\nu \\ A^\mu A_ \nu \partial_\mu A_\nu$$
• primera derivada de campos fermiónicos, $$\bar{\psi} \gamma^\mu \partial_\mu \psi$$
• cuarta potencia de los campos bosónicos $$(\phi^\dagger \phi )^2 \\ (A^\mu A^\nu)^2$$
• Interacciones de Yukawa de un escalar y fermiones $$\phi \bar{\psi} \psi$$
• acoplamientos escalares-vectoriales $$\phi^\dagger \phi A_\mu A^\mu$$ donde omití algunos índices y conjugados.

Todos estos términos pueden tener una constante de acoplamiento adimensional. Sin embargo, en el modelo estándar, asumimos que los términos cinéticos están normalizados y que los términos de interacción tienen sus constantes de acoplamiento como parámetros libres. Por otro lado, en las teorías supersimétricas, las constantes de acoplamiento se igualan para los supercompañeros.

Como puede ver, no hay tantos términos que pueda agregar desde los campos que tiene. Además, el Modelo Estándar Lagrangiano es todo lo que puede escribir para quarks y leptones de 3 familias, un doblete de Higgs y$SU\left(3\right)\otimes SU\left(2\right) \otimes U\left(1\right)$bosones de calibre.

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Las únicas dos constantes dimensionales en nuestra comprensión de la naturaleza son la$M_{\text{Pl}}$, la masa de Planck (o de manera equivalente, la constante gravitatoria de Newton) y el valor esperado de vacío del campo de Higgs (o de manera equivalente, la masa de Higgs). Si agrega otra constante dimensional, significa que introdujo otra escala en la teoría que aún no ve en la naturaleza.