¿Cómo se puede encontrar el grupo de simetría de un Lagrangiano?

Pido disculpas de antemano por mi inglés básico, pero me gustaría saber si hay una regla, un libro o en general alguna forma para determinar las simetrías internas, las simetrías de calibre o todas las simetrías de una densidad lagrangiana. Sé que existe el teorema de Noether que me dará la corriente conservada de la simetría dada, pero mi problema es a priori: ¿cómo puedo encontrar la simetría interna más grande de un Lagrangiano dado? Como quiero ser más claro, puedo darte un ejemplo. Supongamos que tengo dos campos reales$\phi_1$y$\phi_2$tal que el lagrangiano es

$\mathcal{L}(\phi_1,\phi_2)=\frac{1}{2}\partial_\mu \phi_1\partial^\mu \phi_1+\frac{1}{2}\partial_\mu\phi_2\partial^\mu \phi_2-\frac{3}{4}M^2(\phi_1^2+\phi_2^2)-\frac{1}{2}M^2\phi_1\phi_2$

Si te pregunto cuál es el grupo de simetría de este Lagrangiano, ¿qué me dirías?

Al mismo tiempo, puedo diagonalizar la matriz de masa y puedo definir nuevos campos

$\phi_{M^2}=\frac{\phi_2-\phi_1}{\sqrt{2}}\qquad \phi_{2M^2}=\frac{\phi_1+\phi_2}{\sqrt{2}}$

donde, si hice bien el cálculo, me dará una densidad lagrangiana como

$\mathcal{L}_2(\phi_{M^2},\phi_{2M^2})=\frac{1}{2}\partial_\mu \phi_{M^2}\partial^\mu \phi_{M^2}+\frac{1}{2}\partial_\mu\phi_{2M^2}\partial^\mu \phi_{2M^2}-\frac{1}{2}[(2M^2)\phi_{2M^2}^2+M^2\phi_{2M^2}^2)]$

que es un Lagrangiano de dos campos de Klein-Gordon. Esta definición es una rotación de$45$° de los campos, ¿significa esto que el lagrangiano es invariante bajo SO(2)? Si la masa de los campos es la misma, el segundo lagrangiano puede verse como la densidad lagrangiana de Klein Gordon de un doblete

$\Phi=\left( \begin{array}{c} \phi_1\\ \phi_2 \end{array} \right)$?

¿Es entonces esto último un ejemplo de un invariante lagrangiano bajo SO(2)?

Lo último: si tengo un Lagrangiano genérico:

$\mathcal{L}_3(\phi_1,\dots,\phi_n)=\sum_{i,j=1}^n\left(\frac{1}{2}K_{ij}\partial_\mu\phi_i\partial^\mu\phi^j-M_{ij}\phi^i\phi^j\right)-V(\phi_i)$

dónde$K_{ij}$y$M_{ij}$son matrices constantes simétricas reales;$K_{ij}$es matriz definida positiva no singular. ¿Cuál es la mayor simetría interna del término cinético? ¿Cuál es la forma de$M_{ij}$tal que el término de masa es invariante bajo este grupo$G$?

Espero que estos tres ejemplos te ayuden a entender lo que quiero decir y lo que me gustaría que me respondieran. Si hay una referencia, un libro de texto o cualquier cosa que pueda ayudarme a entender cómo lidiar con este tipo de preguntas, realmente lo aprecio.