¿Cómo encontrar transformaciones de simetría?

Las transformaciones se pueden deducir esencialmente de representaciones de álgebras de Lie. Para el Lagrangiano que has escrito, estamos describiendo un$U(1)$teoría del calibre. Representaciones irreductibles de$U(1)$son unidimensionales complejas y siempre tienen la forma$e^{i q \alpha}$dónde$q\in {\mathbb R}$. Por definición, esta es una representación y, por lo tanto, actúa en un espacio vectorial unidimensional complejo como

$$\phi \to e^{i q \alpha} \phi$$ Ahora podemos aplicar este principio en la física donde todo es una función del espacio-tiempo, $\phi \to \phi(x)$, $\alpha \to \alpha(x)$. Puedes comprobar esa escritura. $\phi = \frac{1}{\sqrt{2}} ( \phi^1 + i \phi^2)$reproduce con precisión las transformaciones que has escrito.

La transformación de$A_\mu$entonces puede deducirse de consideraciones geométricas. Para hacer esto, intentemos construir un Lagrangiano que sea invariante bajo las transformaciones de norma locales

$$\phi (x) \to e^{i q \alpha(x)} \phi(x)$$ Lo primero que se debe hacer es tratar de escribir un término cinético para el escalar. Sin embargo, el habitual, a saber $\partial_\mu \phi \partial^\mu \phi$ya no funciona ya que se transforma extrañamente bajo transformaciones de calibre. La razón, por supuesto, es que la derivada de un campo se define como $$n^\mu \partial_\mu \phi(x) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{ \phi(x+ \epsilon n ) - \phi(x) }{ \epsilon}$$ Claramente, el problema es que en la derivada, ¡estamos tomando una diferencia de campos en diferentes puntos del espacio-tiempo ! Dado que la transformación de calibre es local, actúa de manera diferente en los campos en diferentes puntos del espacio-tiempo. Este es básicamente el problema. Para remediar esto, introducimos un campo diferente $W(x,y)$tal que $W(x,x) = 1$y bajo transformaciones de calibre se transforma como $$W(x,y) \to e^{i q \alpha(x) } W(x,y) e^{- i q \alpha(y) }$$ Podemos definir una "nueva derivada" como $$n^\mu D_\mu \phi(x) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{W(x,x+\epsilon n) \phi(x+ \epsilon n ) - \phi(x) }{ \epsilon}$$ Tome el límite descrito anteriormente y reproducirá con precisión la derivada covariante que tiene en su Lagrangiano donde $$W(x,x+\epsilon n) = 1 - i \epsilon n^\mu A_\mu + {\cal O}(\epsilon^2)$$ También puede verificar que la transformación de indicador de $W$implica la transformación de calibre específica de $A_\mu$que escribiste.

Por lo tanto, todas las transformaciones de calibre pueden "derivarse" de argumentos como el anterior. Tenga en cuenta también que esta discusión se puede generalizar fácilmente a teorías de calibre no abelianas.

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