¿Por qué una brecha de energía que se desvanece indica una transición de fase?

Supongo que su teoría es descrita por un hamiltoniano.$H$con un parámetro continuo$x$. Una transición de fase significa que el estado fundamental cambiará repentinamente (y no suavemente) para algún valor de este parámetro. Si la expresión del hamiltoniano es suave con respecto al parámetro$x$, el estado fundamental también debe ser suave.

Pero hay una excepción: si los dos valores propios más pequeños se cruzan, la naturaleza del estado fundamental cambia y puede haber una discontinuidad. En el punto donde se cruzan, la brecha de energía (la diferencia entre los dos de menor energía) desaparece.

Ejemplo realmente básico no físico:$H = \begin{pmatrix} 1 & x \\ x & 1 \end{pmatrix}$tiene valores propios$1-x$y$1+x$, vectores propios$\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$y$\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. Cuando$x = 0$, la brecha de energía desaparece y el estado fundamental cambia repentinamente; de ​​lo contrario, es suave (incluso constante).

La única escala de longitud relevante cerca de una transición de fase es la longitud de correlación$\xi$. Por análisis dimensional, la brecha de masa obedece$m_G \sim \xi^{-1}$, y en una transición de fase de segundo orden generalmente esperamos$\xi \to \infty$, lo que implica un sistema sin espacios.

Una forma más precisa de decir esto es que a largas distancias, la función de correlación de dos puntos se comporta como (en todos los casos "razonables" que normalmente vemos)

$$\frac{e^{-r/\xi}}{r^{d-2+\eta}}$$ En realidad, esto define la longitud de la correlación. Según el argumento anterior, la longitud de correlación es la brecha de masa inversa, por lo que la falta de espacios implica genéricamente correlaciones de ley de potencia, que señalan las transiciones de fase.

El ejemplo más simple de esto es el escalar libre sin masa exactamente solucionable. Cuando es masivo, la teoría es descrita por el Lagrangiano$(\partial \phi)^2 + m^2 \phi^2$donde he descuidado todas las constantes. Es fácil de resolver exactamente para el correlador, y decae como$e^{-mr}$veces una potencia como$r \to \infty$. Cuando la brecha de masas se desvanece, estamos en estado crítico.