¿Por qué el grupo de indicadores "real" del modelo estándar es SU(3)×SU(2)×U(1)/NSU(3)×SU(2)×U(1)/NSU(3) \times SU( 2) \veces U(1) /N?

De hecho, Báez tiene otro artículo (con Huerta) que da más detalles sobre esto. En particular, la Sec. 3.1 es donde se explica, junto con algunos buenos ejemplos. El resultado es que las hipercargas de las partículas conocidas funcionan perfectamente, de modo que la acción de ese generador es trivial. Específicamente, tenemos

Left-handed quark     Y = even integer + 1/3
Left-handed lepton    Y = odd integer
Right-handed quark    Y = odd integer + 1/3
Right-handed lepton   Y = even integer

Debido a que estos son los únicos valores para fermiones conocidos en el Modelo Estándar, ese generador no hace nada. Entonces, básicamente, puede tomar el módulo completo del grupo, el subgrupo generado por$(\alpha, \alpha^{-3}, \alpha^2)$-- dónde$\alpha$es una sexta raíz de la unidad.

También está este artículo de Saller, que entra en mayor detalle sobre las "correlaciones centrales" del grupo de indicadores del modelo estándar, pero en una presentación más técnica. Saller también entra en algún detalle en el capítulo 6.5.3 de su libro .

¿Cómo podemos ver que el grupo$N$generado por

$$g = (e^{2\pi i/3} I, -I, e^{i\pi /3}) \in SU(3)\times SU(2)\times U(1)$$ actúa trivialmente en todos los campos del modelo estándar?

En primer lugar, tenga en cuenta que$g$esta en el centro de$SU(3)\times SU(2)\times U(1)$. Por lo tanto su representante en la representación adjunta es la identidad. Dado que los bosones de calibre se transforman en la representación adjunta,$N$actúa trivialmente sobre ellos.

Los campos de leptones zurdos están en la representación trivial de$SU(3)$y son un$SU(2)\times U(1)$doblete,

$$\Psi = \begin{pmatrix} \nu_L \\ \psi_L \end{pmatrix}.$$ Báez está usando una normalización de carga tal que estos campos tienen $U(1)$cobrar $-3$., por lo que también se transforman trivialmente bajo $N$. El leptón diestro $\psi_R$posee $U(1)$cobrar $-6$en este sistema, por lo que también es trivial.

Los quarks de mano izquierda (derecha) tienen$U(1)$cobrar$1$($4$o$-2$) en este sistema y se transforman bajo$SU(3)$. Es simple ver que también se transforman trivialmente bajo$N$.

(Tenga en cuenta que varias fuentes ponen el$1/3$relación entre las cargas de quarks y leptones en varios lugares, así que tenga cuidado al comparar).

El punto principal es que si uno tiene una teoría de calibre consistente que contiene materia con un grupo de calibre

$$G:=SU(3)\times SU(2)\times U(1),$$ y si uno divide $G$con un subgrupo normal $N$, entonces las representaciones de materia de los campos de materia podrían potencialmente volverse multivaluadas. Sin embargo, es posible elegir $N=\mathbb{Z}_6$de tal manera que los campos de materia del modelo estándar son invariantes. Y $N=\mathbb{Z}_6$pasa a ser el máximo posible en este caso.

Consulte también las publicaciones this & this Phys.SE y los enlaces para una discusión similar para el sector electrodébil.

Consulte también esta publicación Phys.SE relacionada.

Referencias:

1. JC Baez, Colectores de Calabi-Yau y el modelo estándar, arXiv:hep-th/0511086 .

2. D. Tong, JHEP 07 (2017) 104 , arXiv:1705.01853 . (Punta de sombrero: knzhou .)