¿Qué es (se entiende por) un grupo de mentiras U(1)U(1)U(1) no compacto?

Por el "no compacto$U(1)$grupo", nos referimos a un grupo que es isomorfo a$({\mathbb R},+)$. En otras palabras, los elementos de$U(1)$son formalmente$\exp(i\phi)$pero la identificación$\phi\sim \phi+2\pi k$no se impone. Cuando no se impone, también significa que la variable dual ("momentum") para$\phi$, la carga, no está cuantificada. Se pueden permitir campos con cargas continuas arbitrarias$Q$que transforman por el factor$\exp(iQ\phi)$.

Todavía es legítimo llamar a esto una versión de un$U(1)$grupo porque el álgebra de Lie del grupo sigue siendo el mismo,${\mathfrak u}(1)$.

En la segunda parte de la pregunta, donde no estoy 100% seguro de lo que no entiende sobre la cita, probablemente quiera explicar por qué la compacidad está relacionada con la cuantificación. Es porque el cargo$Q$es lo que determina cómo la fase$\phi$de un campo complejo está cambiando bajo transformaciones de calibre. Si decimos que la transformación de norma multiplicando campos por$\exp(iQ\phi)$es equivalente para$\phi$y$\phi+2\pi$, es equivalente a decir que$Q$es de valor entero porque la identidad$\exp(iQ\phi)=\exp(iQ(\phi+2\pi))$tiene iff$Q\in{\mathbb Z}$. Es la misma lógica que la cuantización del momento en espacios compactos o el momento angular a partir de funciones de onda que dependen de las coordenadas esféricas.

Él está explicando que la incrustación de la$Q$en un grupo no abeliano implica que$Q$está incrustado en un$SU(2)$grupo dentro del grupo no abeliano, y luego el$Q$se cuantifica por la misma razón matemática por la que$J_z$está cuantizado. Sólo repetiría su explicación porque me parece totalmente completa y comprensible.

Nótese que la cuantización de$Q$se mantiene incluso si el$SU(2)$se rompe espontáneamente a un$U(1)$. Después de todo, vemos tal cosa en la teoría electrodébil. La teoría de grupos todavía funciona para los que se rompen espontáneamente.$SU(2)$grupo.

1. En términos generales, tenemos$^1$

   $$\text{Compact } U(1)~\cong~(e^{i\mathbb{R}}, \cdot)~\cong~S^1,$$ y $$\text{Non-compact } U(1)~\cong~(\mathbb{R},+).$$

2. Por ejemplo, el grupo de cobertura del compacto .$U(1)$es el grupo no compacto$(\mathbb{R},+)$.

3. En general, dada una teoría de calibre con un grupo de calibre$G$, siempre podemos verlo como una teoría de calibre con un grupo de calibre igual al grupo de cobertura$\tilde{G}$. (Nota: lo contrario no siempre es posible).

4. Por ejemplo, para QED autónomo con grupo de indicadores$U(1)_Q$, luego pto. 3 es una observación no muy interesante.

5. Volvamos ahora a la primera cita de OP de Ref. 1. La teoría electrodébil de Glashow-Weinberg-Salam tiene un grupo de calibre no semisimple

   $$G~=~SU(2)_I \times U(1)_Y~\supset~ U(1)_I\times U(1)_Y.$$ Tenga en cuenta que el subgrupo electromagnético$H=U(1)_Q$está regularmente/compactamente/conmensurablemente/topológicamente (irregularmente/no-compactamente/inconmensurablemente/no topológicamente) incrustado en$G$si la tangente al ángulo de Weinberg $\tan\theta_W$es racional (irracional), respectivamente, cf. Fig. 1 y 2. Este hecho es lo que está detrás de la primera cita en la Ref. 1.

$\uparrow$Fig. 1. (De Wikipedia.) La subálgebra de Cartan $u(1)_I\oplus u(1)_Y \subset su(2)_I\oplus u(1)_Y$. El eje horizontal es (el tercer componente) del isospín débil $I_3=T_3$, y el eje vertical es la hipercarga débil $Y$. El eje de la carga eléctrica.$Q$está inclinado por el ángulo de Weinberg$\theta_W$.

$\uparrow$Fig. 2. (De Ref. 2.) El toro de Cartan $U(1)_I\times U(1)_Y$de$G$es un cuadrado con aristas opuestas identificadas. Una transformación de calibre electromagnético traza la línea$Aaa'bb'cc'dd'ee'\ldots$. Si$\tan\theta_W\in \mathbb{R}\backslash\mathbb{Q}$es irracional, entonces el subgrupo electromagnético$H=U(1)_Q$no está embebido de forma compacta.

Referencias:

1. J. Preskill, Monopolos magnéticos, Ann. Rev. Núcleo. Parte. ciencia 34 (1984) 461-530 ; pags. 471. El archivo PDF está disponible aquí .

2. LH Ryder, Quantum Field Theory, 2ª ed., 1996; pags. 412.

3. AM Polyakov, Gauge Fields and Strings, 1987; Sección 4.3.

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$^1$Algunos autores (ver, por ejemplo, Ref. 3 y esta publicación Phys.SE relacionada) usan la terminología "compacto$U(1)$teoría de calibre" para enfatizar que el campo de calibre toma valores en un compacto$U(1)$Mentir en grupo en lugar de en un no compacto$u(1)$álgebra de mentira. Esta última es la formulación QED estándar que generalmente se encuentra en los libros de texto.