Campos cuánticos como operadores diferenciales

Bueno, dado un CCR de igual tiempo teórico de campo

No todos los operadores pueden representarse como una forma diferencial; el giro es un buen ejemplo.

Sin embargo, la diferencia entre el formalismo de Heisenberg y el de Schrödinger no era la de operadores diferenciales frente a matrices. Schrödinger construyó una imagen mecánica cuántica consistente basada en la ecuación de onda (que recibió su nombre) - mecánica ondulatoria , mientras que Heisenberg construyó la mecánica matricial , donde la dinámica fue descrita por la ecuación de movimiento de Heisenberg para operadores. La diferencia es similar a la que existe entre las ecuaciones de Hamilton-Jacobi y los corchetes de Poisson en la mecánica clásica. La mecánica cuántica todavía se refiere bastante fielmente a esta distinción utilizando los términos imagen de Schrödinger e imagen de Heisenberg para las situaciones en las que la dependencia del tiempo la llevan las funciones de onda y los operadores, respectivamente.

Creo que sé lo que está preguntando, así que le responderé con algunas ideas aproximadas que podrían ayudarlo a obtener una idea.

Todo espacio de Hilbert separable es isométricamente isomorfo a un espacio$L^{2}(\mathbb{R}^n)$. Si tengo un espacio de Hilbert separable$X$, dejar$i:X\rightarrow L^2(\mathbb{R^n})$sea ​​el isomorfismo. Si$A$es un operador en$X$entonces$A'$es un operador en$L^2 (\mathbb{R}^n)$dónde$A' = i A i^{-1}$. Esto da una correspondencia entre operadores en vectores abstractos y operadores en funciones.

La principal diferencia entre las imágenes de Heisenberg y Schrödinger es que, en Heisenberg, vemos que los operadores cambian con el tiempo, mientras que en la imagen de Schrödinger los operadores son fijos y los estados mismos dependen del tiempo. En otras palabras, en la imagen de Heisenberg tenemos un espacio de estado fijo$X$y tenemos algunos operadores$A(t)$que actúe sobre él. El$A(t)$es una representación grupal en el sentido de que$A(t + s) = U(s)A(t)U(s)^{-1}$para alguna transformación unitaria$U(s)$que depende suavemente de$s$. En la teoría cuántica de campos nos movemos de una dimensión de tiempo a cuatro dimensiones de espacio-tiempo. Por lo tanto, deberíamos hacer que los operadores se transformen como$A(x^{\mu} + s^{\mu}) = U(s^{\mu})A(x^{\mu})U(s^{\mu})^{-1}$.

En la imagen de Schrödinger pensamos en los estados como dependientes del tiempo. Entonces, hay una curva$\psi: \mathbb{R} \rightarrow X$representando la evolución del estado a lo largo del tiempo. Esto también tiene que transformarse unitariamente para que$\psi(t + s) = U(s) \psi(t)$. Ahora los operadores se ven como fijos. En el escenario QFT todavía podemos tratar a los operadores como fijos y pensar en los estados como si tuvieran dependencia tanto del espacio como del tiempo. Escribiré$\psi(x^{\mu})$pero no confunda esto con la función de onda convencional. Para un punto dado en el espacio-tiempo,$\psi(x^{\mu})$es en sí mismo un vector abstracto en un espacio de Hilbert separable. O podemos verlo de manera equivalente como una función en algún espacio geométrico (como el espacio de desplazamientos de un oscilador armónico). Tenemos alguna representación unitaria U del grupo de Lorentz de modo que$\psi(x^{\mu} + s^{\mu}) = U(s^{\mu})\psi(x^{\mu})$. Ahora los operadores de momento y posición son operadores fijos.

El QFT tradicional en realidad usa algo como la imagen de Heisenberg que mencioné anteriormente. Sin embargo, es posible formularlo de tal manera que un "campo" se vea como una función que toma puntos de espacio-tiempo como entradas y funciones como salidas. Esto es quizás más como un campo clásico. Asigna una función de onda a cada punto en el espacio-tiempo. Luego, los operadores de momento y posición actúan puntualmente en cada ubicación.