¿Por qué el elemento S-Matrix es esencialmente el residuo de la función de Green (fórmula LSZ)?

Question

¿Por qué el elemento S-Matrix es esencialmente el residuo de la función de Green (fórmula LSZ)?

Física
teoría de la matriz s
greens-funciones
Transformada de Fourier
teoría cuántica de campos

Jan Lukas Bossé

En Wikipedia, bastante similar al guión que estoy siguiendo, la fórmula LSZ se da como

_{o tu t} {⟨ {pag}_{1}, . . ., {pag}_{norte} | q_{1}, . . ., q_{metro} ⟩}_{i norte} = \int \prod_{i}^{metro} (d X^{4} i {mi}^{- q_{i} X_{i}} (◻_{X_{i}} - {metro}^{2})) \prod_{j}^{norte} (d y^{4} i {mi}^{- {pag}_{j} y_{j}} (◻_{y_{j}} - {metro}^{2})) ⟨ 0 | T [φ (X_{1}) \dots φ (X_{metro}) φ (y_{1}) \dots φ (y_{norte})] | 0 ⟩ \equiv \prod_{i}^{metro} (- i ({pag}_{i}^{2} - {metro}^{2})) \prod_{j}^{norte} (- i ({pag}_{j}^{2} - {metro}^{2})) \hat{τ} ({pag}_{1} . . . {pag}_{norte}, - q_{1} . . . - q_{metro})

$_{out}\left<p_1,...,p_n| q_1,...,q_m \right>_{in} =\\ \int \prod_i^m \left(\textrm{d}x^4\, i e^{-q_ix_i}(\square_{x_i}-m^2)\right)\prod_j^n \left( \textrm{d}y^4\,i e^{-p_jy_j}(\square_{y_j}-m^2)\right) \left<0| T[\varphi(x_1)\ldots \varphi(x_m)\varphi(y_1)\ldots\varphi(y_n)]|0\right> \\ \equiv \, \prod_i^m \left(-i (p_i^2-m^2)\right)\prod_j^n \left( -i (p_j^2-m^2)\right) \hat\tau(p_1...p_n,-q_1...-q_m)$

hasta algunos factores de renormalización $Z$ y donde $\hat \tau$ denota la transformada de Fourier de la función de correlación ordenada en el tiempo $\left<0|T[...]|0\right>$ .

Luego dice "..., esta fórmula afirma que los elementos de la matriz S son los residuos de los polos que surgen en la transformada de Fourier de las funciones de correlación a medida que se colocan cuatro momentos en la capa".

¿Cómo llego a esta realización? Sé que si calculo la función de correlación de dos puntos ordenada en el tiempo de un campo libre

{GRAMO}_{F} (X) = \underset{ϵ ↓ 0}{límite} \int \frac{d^{4} k}{(2 π)^{4}} \frac{{mi}^{i k X}}{{metro}^{2} - k^{2} - i ϵ}

$G_F(x) = \lim_{\epsilon \downarrow 0} \int \frac{d^4k}{(2\pi)^4} \frac{e^{ikx}}{m^2-k^2-i\epsilon}$

y realizar el $x^0$ -integración aquí obtengo esencialmente el residuo en $k^0 = \pm (\omega - i \epsilon)$ , pero no pude generalizar este resultado al caso anterior.

Respuestas (1)

¿Por qué el elemento S-Matrix es esencialmente el residuo de la función de Green (fórmula LSZ)?

Javier · Answer 1

El argumento es completamente general. El lado derecho de tu ecuación realmente debería tener un límite, donde los cuadrados de los cuatro momentos se llevan a $m^2$ ; es decir, se les pone una cáscara. Ahora, la función de correlación se multiplica por $p^2-m^2$ , por lo que la única forma en que el límite será distinto de cero es si la función de correlación tiene un polo en $p^2=m^2$ ; si fuera regular, al multiplicarlo por $p^2-m^2$ el resultado simplemente iría a cero como $p^2 \to m^2$ . El resultado del límite es el residuo del polo, casi por definición.

Hagámoslo explícito: supongamos que todos los momentos excepto uno están fuera de la cáscara; llamemos al que se pone caparazón $p$ , y supongamos que para $p^2 \approx m^2$ la función de correlación toma la forma

τ ({pag}^{2}, \dots) \approx \frac{Z}{{pag}^{2} - {metro}^{2}} + finito,

$\tau(p^2, \dots) \approx \frac{Z}{p^2-m^2} + \text{finite},$

dónde $Z$ es un número y $\text{finite}$ representa cosas que no divergen como $p^2 \to m^2$ ; este número es el residuo del polo ya que es el coeficiente del $1/(p^2-m^2)$ término en la expansión de Laurent. Luego, cuando se pone en la fórmula LSZ, obtenemos

\underset{{pag}^{2} \to {metro}^{2}}{límite} ({pag}^{2} - {metro}^{2}) τ ({pag}^{2}, \dots) = Z,

$\lim_\limits{p^2 \to m^2} (p^2-m^2) \tau(p^2, \dots) = Z,$

entonces el residuo $Z$ es lo que termina en el RHS de la fórmula LSZ. De nuevo, tenga en cuenta que si la divergencia de $\tau$ tomara cualquier otra forma (por ejemplo, un polo doble, una singularidad esencial o una función delta), el resultado del límite sería cero o infinito. La única forma de obtener un resultado sensato es tener un poste simple.

¡Muchas gracias! De alguna manera me perdí, eso por sensato $p_i$ los factores $(p_i^2-m)$ son todos 0.

¿Por qué el elemento S-Matrix es esencialmente el residuo de la función de Green (fórmula LSZ)?

Jan Lukas Bossé

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Javier

Jan Lukas Bossé

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