¿Por qué el campo auxiliar de la transformación de Hubbard-Stratonovich para el modelo de Hubbard es el mismo que el parámetro de orden ferromagnético del campo medio?

Siempre puede derivar la conexión entre los campos auxiliares en el punto de silla y los promedios de los operadores de fermiones a los que están acoplados. Por ejemplo, realice una acción completamente desacoplada:

$$\begin{equation} S=\frac{1}{2m}\sum\phi(q)\phi(-q)+g\sum\phi(q)M(-q)+S_f, \end{equation}$$ dónde $\phi$es un campo auxiliar, $S_f$denota la parte fermónica de la acción y $M(-q)=\frac{1}{2}\sum_{k\alpha\beta}\bar{\psi}_\alpha(k-q)\psi_\beta(k)\tau^z_{\alpha\beta}$es solo un FT de giro en la dirección z. Ahora, considere una derivada variacional con respecto a $\phi_q$en un punto de silla (donde $\frac{\delta}{\delta \phi_q} S=0$sostiene):

$$\begin{equation} \frac{1}{Z}\frac{\delta }{\delta \phi_q}Z = \frac{1}{m}\phi_{MF}(-q)+g\left<M(-q)\right>_{MF} = -\frac{1}{Z}\int D(\bar{\psi}, \psi)e^{-S}\frac{\delta }{\delta \phi_q}S = 0 \end{equation}$$ Lo que significa que: $$\begin{equation} -\frac{1}{gm}\phi(q) = \left<M(q)\right>. \end{equation}$$

Espero que responda a su pregunta.