Matsubara Frecuencias [cerrado]

Tengo que evaluar la siguiente suma de Matsubara :

1 β ∑ ( ω 2 + a 2 ) − 1
para frecuencias bosónicas-matsubara.

Sé que la integración de contornos es el camino a seguir. Por lo tanto, escribí:

1 β ∑ [ ( ω − i a ) ( ω + i a ) ] − 1 = 1 2 i π × ∫ d z [ ( z − a ) ( z + a ) ] − 1 gramo ( z )

dónde

gramo ( z ) = − 1 2 bronceado ⁡ ( β z / 2 ) .

Mi resultado final es por lo tanto

1 2 a bata ⁡ ( β a / 2 ) .

¿Alguien puede decirme si esto es correcto o si estoy equivocado? Y además, ¿existen reglas/limitaciones para elegir gramo ( z ) ?

Le sugiero que lea Wikipedia ( en.wikipedia.org/wiki/Matsubara_frequency ) antes de preguntar.

Respuestas (1)

Una forma de hacer esta suma de Matsubara que solo involucra resultados estándar es la siguiente. Primero, escribe

A = T ∑ norte 1 ω norte 2 + a 2 = T ∑ norte mi i ω norte 0 + ω norte 2 + a 2 ,
donde el factor convergente mi i ω norte 0 + se puede sumar libremente ya que la suma converge. De esto
A = T 2 a ∑ norte mi i ω norte 0 + i ω norte + a − T 2 a ∑ norte mi i ω norte 0 + i ω norte − a .
Usando la suma estándar de Matsubara (por ω norte = 2 π T norte )
T ∑ norte mi i ω norte 0 + i ω norte − a = − norte ( a ) ,
con norte ( a ) la función de Bose, así como norte ( − a ) = − norte ( a ) − 1 , obtenemos
A = 2 norte ( a ) + 1 2 a = bata ⁡ ( β a / 2 ) 2 a .

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