¿Por qué el ancho de banda de frecuencia del entorno es importante para la markoviana?

Una breve respuesta matemática a la pregunta se encuentra en las propiedades de las transformadas de Fourier. La respuesta temporal del entorno a una perturbación viene dada por la transformada de Fourier de su respuesta en frecuencia a la misma perturbación. Por lo tanto, si se perturba una amplia gama de frecuencias en el baño, la respuesta se produce en una estrecha gama de tiempos. Permítanme tratar de explicar brevemente cómo surge esta estructura matemática de la física.

La emisión espontánea se puede entender a partir de los siguientes argumentos ondulados a mano. El electrón en estado excitado produce un campo eléctrico. Este campo fluctúa con el tiempo; estas fluctuaciones impulsan las transiciones en el estado electrónico. La emisión espontánea surge por tanto del efecto del electrón sobre su entorno, que a su vez produce una acción inversa que afecta al electrón.

La respuesta del campo electromagnético a una perturbación.$\mathbf{E} = E\hat{\mathbf{z}}$(He elegido arbitrariamente la polarización en el$z$dirección) es capturado por la función de respuesta :$\Gamma(t) = \langle E(t) E(0)\rangle,$dónde$E(t)$denota el operador de imagen de Heisenberg. Esta función es fundamental para la teoría de la respuesta lineal a una pequeña perturbación. Por ejemplo, si se introduce un dipolo eléctrico clásico que oscila con un momento dipolar dependiente del tiempo$d(t)$, el campo eléctrico resultante en ese punto viene dado por la convolución

$$\delta\langle E(t) \rangle \approx -i\int_0^t\mathrm{d}s\; d(t-s) \Gamma(s).$$

Los párrafos anteriores sirven meramente para motivar la aparición de la función de respuesta$\Gamma(t)$. En un caso físicamente realista donde tenemos un dipolo cuántico (por ejemplo, un átomo) con dos estados separados por una frecuencia$\epsilon$, la función de respuesta determina la tasa de emisión espontánea, que es proporcional a la cantidad:

$$\gamma(t) \sim \int_0^t\mathrm{d}s\; e^{i\epsilon s} \Gamma(s).$$ Asumiendo que $\Gamma(s)$se descompone mucho más rápido que $1/\epsilon$, por tiempos $t\gg 1/\epsilon$podemos hacer la aproximación de Markov $$\gamma(t) \to \gamma = \int_0^{\infty}\mathrm{d}s\; e^{i\epsilon s} \Gamma(s),$$ de modo que efectivamente tengamos una tasa de emisión espontánea constante a lo largo del tiempo, lo que lleva a un decaimiento exponencial puro.

cuando hace$\Gamma(s)$decaer lo suficientemente rápido para que podamos hacer la aproximación de Markov? el campo electrico$E(t)$contiene muchos componentes (modos normales) que oscilan a diferentes frecuencias. Si hacemos esta descomposición obtenemos una representación de Fourier como

$$\Gamma(t) = \int_0^\infty\mathrm{d}\omega\; e^{-i\omega t} J(\omega),$$ donde la densidad espectral $J(\omega)$cuantifica el grado en que el campo en frecuencia $\omega$es perturbado por un dipolo. Para un átomo que interactúa con el campo electromagnético en el espacio libre, normalmente obtendrá algo como $$J(\omega) \sim \lambda \frac{\omega^3}{\omega_c^2}e^{-\omega/\omega_c}.$$ Aquí $\lambda$es un pequeño parámetro de acoplamiento adimensional, y $\omega_c$es un gran corte de frecuencia del orden de $c/a_0$, dónde $a_0$es el radio de Bohr. A partir de argumentos puramente dimensionales se puede ver que $$\Gamma(t) \sim \frac{\lambda \omega_c^2}{(\omega_c t)^4}.$$ Esto te dice que $\Gamma(t)$se desvanece después de tiempos mucho más grandes que $\tau = 1/\omega_c$. Esta vez $\tau$se llama tiempo de memoria . Desde aquí $\omega_c \approx 10^{18} \text{Hz}$, mientras que las frecuencias ópticas típicas son $\epsilon \approx 10^{14} \text{Hz}$, la aproximación de Markov está bien justificada.

El ejemplo extremo de ruido markoviano (ruido blanco) corresponde a$J(\omega) = \text{const.}$, en ese caso$\Gamma(t) = \delta(t)$, es decir, el tiempo de memoria del baño es infinitesimalmente pequeño. El extremo opuesto es algo así como un cristal fotónico, donde el entorno tiene un borde de banda nítida en frecuencia$\Omega$dónde$J(\omega)$va a cero. En ese caso, la función de respuesta termina algo así como

$$\Gamma(t) = \int_0^\Omega e^{-i\omega t} J(\omega) \sim f(t) e^{-i\Omega t}$$ dónde $f(t)$es alguna función del tiempo. Ahora si $\Omega$es comparable a $\epsilon$, puede imaginar que habrá efectos de resonancia y que no habrá una transferencia de energía suave e irreversible hacia el medio ambiente. Bastante $\gamma(t)$se convierte en una función complicada del tiempo y verás dinámicas no markovianas. Si la frecuencia $\epsilon$se encuentra en lo profundo de la brecha de banda, entonces no hay emisión espontánea en absoluto, ya que simplemente no hay modos de campo electromagnético para acoplar, es decir, efectivamente $J(\omega) = 0$en el rango de frecuencia correspondiente.

Con suerte, estos ejemplos deberían convencerlo de que la escala de frecuencia que establece el ancho de banda de los modos perturbados en el entorno ($\omega_c$,$\Omega$) es del orden del tiempo de memoria inverso. Así, grandes anchos de banda corresponden a tiempos de memoria más cortos, es decir, más entornos markovianos.

DESCARGO DE RESPONSABILIDAD: Todas las ecuaciones proporcionadas aquí se basan únicamente en la memoria y en verificaciones mínimas de consistencia al dorso del sobre. Es casi seguro que faltan los factores de proporcionalidad y varios términos que arbitrariamente consideré irrelevantes.