Semigrupos lindbladianos y dinámicos

Question

Semigrupos lindbladianos y dinámicos

Física
operador de densidad
mecánica cuántica
sistemas-cuánticos-abiertos

Jagerber48

Estoy tratando de aprender un poco más sobre los sistemas cuánticos abiertos.

A menudo derivamos ecuaciones maestras o ecuaciones de Heisenberg-Langevin donde tenemos algo como

\begin{aligned} \dot{ρ} (t) = L [ρ (t)] \\ \dot{A} (t) = L^{†} [A (t)] \end{aligned}

$\begin{align} \dot{\rho}(t) = \mathcal{L}[\rho(t)]\\ \dot{A}(t) = \mathcal{L}^{\dagger}[A(t)] \end{align}$

Aquí $\rho$ es la matriz de densidad del sistema y $A$ es un operador de sistema arbitrario y $\mathcal{L}$ Superoperador de Lindbladian dado por

L [O] = - \frac{i}{ℏ} [H, O] + \sum_{i} γ_{i} (L_{i} O L_{i}^{†} - \frac{1}{2} {L_{i}^{†} L_{i}, O})

$\mathcal{L}[\mathcal{O}] = -\frac{i}{\hbar}[H,\mathcal{O}] + \sum_i \gamma_i\left(L_i\mathcal{O}L_i^{\dagger} - \frac{1}{2}\left\{L_i^{\dagger}L_i,\mathcal{O}\right\}\right)$

para cualquier operador $\mathcal{O}$ . Ver por ejemplo esta publicación .

Se dice que la forma de Lindblad da la forma más general para generar dinámicas markovianas.

Claramente debe haber ecuaciones maestras más generales que no sean markovianas. Me parece que uno podría derivar la forma más general de la siguiente manera. Supongamos que tenemos un sistema que proviene de un producto tensorial de dos sistemas, $A$ y $B$ . Tenemos

\begin{aligned} ρ (t) & = tu (t) ρ (0) {tu}^{†} (t) = {mi}^{L t} [ρ (0)] \\ \dot{ρ} (t) & = [\dot{tu} (t) {tu}^{†} (t), ρ (t)] = - \frac{i}{ℏ} [H (t), ρ (t)] = L [ρ (t)] \end{aligned}

$\begin{align} \rho(t) &= U(t)\rho(0) U^{\dagger}(t) = e^{\mathcal{L}t}[\rho(0)]\\ \dot{\rho}(t) &= \left[\dot{U}(t)U^{\dagger}(t),\rho(t) \right] = -\frac{i}{\hbar}[H(t),\rho(t)] = \mathcal{L}[\rho(t)] \end{align}$

dónde $U$ representa el operador de evolución temporal. Luego tomamos la traza parcial para obtener

\begin{aligned} ρ_{A} (t) & = {Tr}_{B} [ρ (t)] = {Tr}_{B} [{mi}^{L t} ρ (0)] \\ {\dot{ρ}}_{A} (t) & = \frac{d}{d t} {Tr}_{B} [ρ (t)] = {Tr}_{B} [\dot{ρ} (t)] = {Tr}_{B} [L [ρ (t)]] = L_{A} [ρ_{A} (t)] \end{aligned}

$\begin{align} \rho_A(t) &= \text{Tr}_B[\rho(t)]=\text{Tr}_B\left[e^{\mathcal{L}t}\rho(0)\right]\\ \dot{\rho}_A(t) &= \frac{d}{dt}\text{Tr}_B\left[\rho(t)\right] = \text{Tr}_B\left[\dot{\rho}(t) \right] = \text{Tr}_B[\mathcal{L}[\rho(t)]] = \mathcal{L}_A[\rho_A(t)] \end{align}$

Aquí $\mathcal{L}$ genera dinámicas unitarias para $\rho$ , mientras se rastrea la dinámica del sistema $B$ lleva a $\mathcal{L}_A$ generar las dinámicas no necesariamente unitarias para $\rho_A$ .

Mis preguntas son las siguientes:

1) ¿Es lo que he descrito realmente la forma de derivar la forma más general de una ecuación maestra cuántica?

2) Supongo que la derivación anterior no conducirá a la forma de Lindblad porque no genera necesariamente dinámicas markovianas. ¿Es esto correcto?

3) ¿Es la restricción que $e^{\mathcal{L}_A t}$ es un elemento de un semigrupo dinámico el hecho matemático que conduce a $\mathcal{L}_A$ tener la forma de Lindblad? ¿Es la restricción dinámica de semigrupos lo mismo que requerir la dinámica markoviana?

Respuestas (1)

Semigrupos lindbladianos y dinámicos

Jagerber48 · Answer 1

He leído más y veo un punto importante que me perdí arriba. En mi última línea para $\dot{\rho_A(t)}$ di el paso

{Tr}_{B} (L [ρ (t)]) = L_{A} [ρ_{A} (t)]

$\text{Tr}_B(\mathcal{L}[\rho(t)]) = \mathcal{L}_A[\rho_A(t)]$

Este paso no está justificado en general. Es decir, el problema es el siguiente. creo que es cierto que $\text{Tr}_B(\mathcal{L}[\rho(t)])$ puede escribirse como una función de $\rho_A$ , sin embargo, la dependencia puede no sólo incluir $\rho_A(t)$ . En particular, puede depender de $\rho_A$ en el momento $t$ así como otros tiempos anteriores. Físicamente esto corresponde a la idea de que la información sobre el sistema $A$ podría filtrarse en el sistema $B$ , entonces, si el sistema $B$ tiene memoria esta información puede retroalimentar al sistema $A$ lo que significa que la evolución en el tiempo actual del sistema $A$ dependerá, en general, del estado previo del sistema $A$ y todos los tiempos anteriores.

En física nos gustan las ecuaciones diferenciales para objetos. Nos gusta cuando la evolución temporal de un objeto en el tiempo $t$ está relacionado con una función de ese objeto también en el tiempo $t$ . Podemos ver que el párrafo anterior se mete con este desiderata. Es por eso que imponemos la Markovity del sistema. $B$ lo que garantiza que la ecuación maestra se pueda escribir en la forma anterior.

Todavía espero una respuesta de alguien más experto que yo, pero aquí están mis respuestas a mis propias preguntas.

1) Lo que describí no fue la forma más general porque hice la suposición injustificada anterior. sigo pensando que

\begin{aligned} {\dot{ρ}}_{A} (t) = {Tr}_{B} [L [ρ (t)]] \end{aligned}

$\begin{align} \dot{\rho}_A(t) = \text{Tr}_B[\mathcal{L}[\rho(t)]] \end{align}$

Es la forma más general que podemos escribir donde $\mathcal{L}$ genera dinámicas unitarias para $\rho(t)$ . Desafortunadamente, realmente no sé cómo escribir la RHS de esta ecuación como una función de $\rho_A$ como me gustaría. Incluso dada una forma explícita para $\rho(t)$ y $\mathcal{L}$ no sabria como hacerlo creo..

2) Es correcto que esta forma general no conduce necesariamente a una forma Lindblad.

3) Estoy bastante seguro de que el operador de evolución temporal que forma parte de un semigrupo es el mismo que el requisito de Markov.

Para resumir y llegar al meollo de la cuestión: incluso si anotamos

{\dot{ρ}}_{A} (t) = L_{A} [ρ_{A} (t)]

$\dot{\rho}_A(t) = \mathcal{L}_A[\rho_A(t)]$

YA hemos asumido la evolución de Markov. Esto significa que $\mathcal{L}$ debe ser de la forma de Lindblad [1]. Si queremos algo más general debemos abandonar la idea de $\dot{\rho}_A(t)$ dependiendo solo de $\rho_A(t)$ y no $\rho_A(t')$ para otros tiempos $t'$ . Esto no es algo que personalmente me gustaría abandonar, ¡así que me apegaré a la evolución de Markov y las formas de Lindblad por el momento!

[1] G. Lindblad, Sobre los generadores de semigrupos dinámicos cuánticos, Commun. Matemáticas. Física 48, 119, (1976).

Semigrupos lindbladianos y dinámicos

Jagerber48

Respuestas (1)

Jagerber48

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