Efecto Purcell en régimen no dispersivo: átomo en una cavidad para ΔΔ\Delta moderado

El sistema de interés es un sistema de dos niveles colocado dentro de una cavidad. Esto puede ser un átomo y una cavidad tridimensional, un qubit superconductor y un resonador de guía de onda coplanar, pero los detalles no importan. Simplemente supondremos que tenemos un átomo de dos niveles acoplado a una cavidad y escribiremos el hamiltoniano como

En 1946, E. Purcell dedujo que cuando un sistema de dos niveles de este tipo se coloca dentro de la cavidad (como hemos hecho anteriormente), tiene una tasa de emisión espontánea alterada.$\Gamma_{1a}$, donde el$a$se utiliza para indicar que estamos hablando del sistema de dos niveles [1] . Se conoce como el efecto Purcell, y se ha observado en algunos sistemas diferentes, como circuitos eléctricos ( [2] , arXiv en [3] ) y, lo que es más interesante para mí, también en transmon qubits acoplados a resonadores de guía de ondas coplanares ( [ 4] , arXiv en [5] ).

Lo que encontré en la literatura [2] es que hay dos regímenes principales para esto: el primero es que la cavidad está en resonancia con el átomo, en cuyo caso se hibridan en dos estados con$\Gamma_{1\{r,a\}}^{'} = \frac{\Gamma_{1r}+\Gamma_{1a}}{2}$donde usé el número primo para diferenciar las tasas de pérdida desnuda y las tasas de pérdida efectiva debido a la interacción de los dos sistemas. El segundo escenario es el denominado régimen dispersivo, en el que$\Delta^2 = \left|\omega_r-\omega_a \right|^2 \gg g^2$, para el cual uno tiene que

Mi pregunta ahora es cómo se puede encontrar una expresión para$\Gamma_{1a}^{'}$en el régimen intermedio; entre la parte dispersiva y la parte totalmente hibridada. El artículo de Koch et al. [4] escribe algo sobre esto en la sección IV B, señalando que uno puede usar la regla de oro de Fermi, pero no siento que la forma en que está expresada allí pueda usarse para una expresión completa. De manera similar , [2] muestra una curva teórica en la figura 2b, pero no contiene ninguna referencia a cómo se calcula.

Así que a eso se reduce mi pregunta; dada la situación esbozada anteriormente, conociendo todos los parámetros definidos, ¿cómo calculo$\Gamma_{1a}^{'}(\Delta)$por desafinación arbitraria$\Delta$? Entiendo que uno podría hacer esto numéricamente en lugar de con una buena ecuación analítica; eso está bien para mí.

Finalmente, si ayuda, puedo dar algunos órdenes de magnitud para las cantidades en cuestión. tomemos$\Delta = [0 - 400]$MHz/2$\pi$,$g = 80$MHz/2$\pi$,$\Gamma_{1a} = 60$MHz/2$\pi$y$\Gamma_{1r} = 1$MHz/2$\pi$. Es solo una estimación del escenario que me interesa, no debería importar para el problema.