Estoy aprendiendo a obtener soluciones en serie para ecuaciones diferenciales.
Mi libro dice: Si tienes una ecuación diferencial de segundo orden del tipo:
primero debemos dividirlo por , y luego verifique los puntos singulares, cuando todos los términos son polinomios, la diferencia. La ecuación probablemente no tendrá solución en el punto donde es 0
Mi pregunta es, ¿por qué dividir todo por ? ¿No podemos comprobar si y son analíticos en y obtener dos soluciones lineales independientes con la serie de Taylor?
El problema es que donde , su ecuación no es realmente de segundo orden. No quiere decir que no tenga soluciones, pero el hecho es que los ceros de son puntos singulares, es decir, puntos donde normalmente le suceden cosas malas a la solución.
En la mayoría de los casos, tiene solo unos pocos ceros, y uno simplemente trabaja dentro de los intervalos determinados por esos ceros. Dentro de esos intervalos, dividiendo por está bien.
Como dices, si tu objetivo es resolver usando series de potencias, dividiendo por puede complicar las cosas. Tenga en cuenta, sin embargo, que si va a tener como una serie de potencias no trivial, necesitarás multiplicar esa serie con la de , y en la mayoría de los casos no obtendrás nada ni remotamente bonito. Los casos más comunes ocurren cuando es un poder de u otra expresión igualmente sencilla.
Si está utilizando un método que no sea la serie de potencias, como la variación de parámetros, la mayoría de las veces el método se expresa con la ecuación en una forma donde el primer término es solo.
Finalmente, para responder a su pregunta del título: en general, no perderá soluciones porque los puntos singulares están aislados y busca soluciones en intervalos. Si fuera cero en un intervalo (en cuyo caso no puede ser analítico), entonces de hecho perdería soluciones al dividir. Sin embargo, todos los métodos que conozco no se aplicarían en esa situación.
Martín Argerami