¿Por qué debe (∂U∂V)T=0(∂U∂V)T=0\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}=0 para un gas ideal?

Question

¿Por qué debe (∂U∂V)T=0(∂U∂V)T=0\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}=0 para un gas ideal?

RESPLANDOR

Del gas ideal (ecuación de estado)

\begin{matrix} (1) & V = \frac{norte k_{B} T}{PAG} \end{matrix}

$V=\frac{NK_BT}{P}\tag{1}$

Dónde $P$ es la presión absoluta del gas, $N$ es el numero de moleculas en el volumen dado $V$ , $K_B$ es la constante de Boltzmann, y $T$ es la temperatura absoluta (termodinámica).

La ecuación general para la energía interna. $U$ de un gas ideal está dada por

tu = \frac{1}{2} {norte}_{d} norte k_{B} T = \frac{1}{2} {norte}_{d} PAG V usando (1)

$\fbox{$U=\frac12 n_dNK_BT=\frac12 n_dPV$}\qquad\text{using (1)}$ dónde

n_{d}

$n_d$ es el número de grados de libertad de las moléculas del gas.

Con la presión del gas ideal mantenida constante, sé que

\begin{matrix} (2) & {(\frac{\partial V}{\partial T})}_{PAG} = {(\frac{\partial (\frac{norte k_{B} T}{PAG})}{\partial T})}_{PAG} = \frac{norte k_{B}}{PAG} \end{matrix}

$\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}=\left(\frac{\partial \left(\frac{NK_BT}{P}\right)}{\partial T}\right)_{P}=\frac{NK_B}{P}\tag{2}$

Pero, por mi lógica a temperatura constante

{(\frac{\partial tu}{\partial V})}_{T} = {(\frac{\partial (\frac{1}{2} {norte}_{d} PAG V)}{\partial V})}_{T} = \frac{1}{2} {norte}_{d} PAG \neq 0

$\fbox{$\color{red}{\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}=\left(\frac{\partial \left(\frac12 n_dPV\right)}{\partial V}\right)_{T}=\frac12 n_dP\ne 0}$}$

La razón por la que hago esta pregunta es porque forma parte de la prueba de que la capacidad calorífica a presión constante $C_P$ está relacionado con la capacidad calorífica a volumen constante $C_V$ :

C_{PAG} = ({(\frac{\partial tu}{\partial V})}_{T} + PAG) {(\frac{\partial V}{\partial T})}_{PAG} + C_{V}

$C_P=\left(\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}+P\right)\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}+C_V$

⟹ C_{PAG} = norte k_{B} + C_{V}

$\implies \bbox[yellow]{C_P = NK_B+C_V}$

Donde la parte resaltada en amarillo solo contiene iff

{(\frac{\partial tu}{\partial V})}_{T} = 0

$\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}=0$ y

(2)

$(2)$ es correcto.

¿Podría alguien explicarme por qué?

{(\frac{\partial tu}{\partial V})}_{T} = 0

$\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}=0$ y no

\frac{1}{2} n_{d} P

$\frac12 n_dP$ ?

Nota:

Puedo cargar un extracto de la derivación del libro de la fórmula resaltada si es necesario/solicitado.

K_inverso

Para la ecuación del color rojo, solo la temperatura se mantiene constante (es decir, P puede cambiar a medida que cambia V). Por lo tanto, la diferenciación parcial no es correcta allí.

RESPLANDOR

@QMM Gracias por la aclaración, ahora empieza a tener sentido.

Respuestas (2)

¿Por qué debe (∂U∂V)T=0(∂U∂V)T=0\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}=0 para un gas ideal?

Para la ecuación del color rojo, solo la temperatura se mantiene constante (es decir, P puede cambiar a medida que cambia V). Por lo tanto, la diferenciación parcial no es correcta allí.
@QMM Gracias por la aclaración, ahora empieza a tener sentido.

limón · Answer 1

Tu ecuación roja está mal. Recuerde que en fijo $T$ , $P$ es una función de $V$ . Así que en su lugar tienes

{(\frac{\partial tu}{\partial V})}_{T} = \frac{1}{2} {norte}_{d} PAG + \frac{1}{2} {norte}_{d} V \frac{\partial PAG}{\partial V}

$\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T=\frac{1}{2}n_dP + \frac{1}{2}n_dV\frac{\partial P}{\partial V}$

Evaluar $\partial P/\partial V$ usando la ec. (1) y listo.

Gracias por una respuesta verdaderamente eficiente y excelente, muy impresionante (+1 por supuesto!). Saludos.

velut luna · Answer 2

Al calcular $\left(\frac{\partial U} {\partial V}\right)_T$ tienes que considerar $U$ como una función de $V$ y $T$ . Por lo tanto $P$ no es una variable independiente. Si tú escribes

tu = \frac{{norte}_{d}}{2} PAG V

$U=\frac{n_d}{2}PV$ entonces debes recordar

P

$P$ es también una función de

V

$V$ y

T

$T$ . Explícitamente,

\begin{aligned} tu (V, T) & = \frac{{norte}_{d}}{2} PAG (V, T) V \\ = \frac{{norte}_{d}}{2} \frac{norte k_{B} T}{V} V \\ = \frac{{norte}_{d}}{2} norte k_{B} T \end{aligned}

$\begin{align}U(V,T) &=\frac{n_d}{2}P(V,T)V\\ &=\frac{n_d}{2}\frac{Nk_BT}{V}V\\ &=\frac{n_d}{2}Nk_BT\end{align}$ y por lo tanto

{(\frac{\partial tu}{\partial V})}_{T} = 0 .

$\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T=0\;.$

Alternativamente,

\begin{aligned} tu (V, T) & = \frac{{norte}_{d}}{2} PAG (V, T) V \\ {(\frac{\partial tu}{\partial V})}_{T} & = \frac{{norte}_{d}}{2} \frac{\partial}{\partial V} (PAG V) \\ = \frac{{norte}_{d}}{2} [PAG + V {(\frac{\partial PAG}{\partial V})}_{T}] \\ = \frac{{norte}_{d}}{2} [PAG + V {(\frac{\partial}{\partial V} \frac{norte k_{B} T}{V})}_{T}] \\ = \frac{{norte}_{d}}{2} [PAG - V \frac{norte k_{B} T}{V^{2}}] \\ = \frac{{norte}_{d}}{2} [PAG - \frac{norte k_{B} T}{V}] \\ = 0 . \end{aligned}

$\begin{align}U(V,T)&=\frac{n_d}{2}P(V,T)V\\ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T &=\frac{n_d}{2}\frac{\partial}{\partial V}(PV)\\ &=\frac{n_d}{2}\left[P+V\left(\frac{\partial P}{\partial V}\right)_T\right]\\ &=\frac{n_d}{2}\left[P+V\left(\frac{\partial}{\partial V}\frac{Nk_BT}{V}\right)_T\right] \\ &=\frac{n_d}{2}\left[P-V\frac{Nk_BT}{V^2}\right]\\ &=\frac{n_d}{2}\left[P-\frac{Nk_BT}{V}\right]\\ &=0\;.\end{align}$

Gracias por su respuesta. Entonces, para ser claros; La razón por la cual $\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T=0$ es esencialmente porque el $V$ ¿Cancelar? ¿O hay más que eso? De lo contrario, gran respuesta! (+1).
Sólo una pregunta final; Usted menciona al comienzo de su respuesta que "tiene que considerar $U$ como una función de $V$ y $T$ ". ¿Por qué es esto? ¿Por qué no considerar $U$ como una función de $P$ y $T$ o $U$ como una función de $V$ y $P$ ? Saludos.

¿Por qué debe (∂U∂V)T=0(∂U∂V)T=0\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{T}=0 para un gas ideal?

RESPLANDOR

K_inverso

RESPLANDOR

Respuestas (2)

limón

RESPLANDOR

velut luna

RESPLANDOR

RESPLANDOR

¿Cómo puedo demostrar la energía interna del gas diatómico?

Equivalencia calor-trabajo en termodinámica de gases ideales

¿La temperatura y la energía cinética dependen del movimiento general? [duplicar]

Cálculo del trabajo realizado en un gas ideal

¿Qué significa el trabajo en termodinámica en comparación con otras partes de la física?

¿Cómo obtener ecuaciones de estado derivando un potencial termodinámico?

Definición de energía interna de un gas ideal

¿Por qué se utiliza CVCVC_V en el trabajo adiabático de un gas ideal?

Comprender matemáticamente el proceso de expansión libre de un gas ideal

Energía interna de un gas ideal en función del volumen.