¿Cómo obtener ecuaciones de estado derivando un potencial termodinámico?

Para un gas ideal en un sistema cerrado, el potencial termodinámico U, la energía interna, viene dada por

$$U(V,S) = U_0 \left( \frac{V_0}{V} \right)^{2/3} \text{e}^{\frac{S-S_0}{C_V}},\quad C_V = \frac{3}{2}Nk_B$$

cf. por ejemplo la Ec. (5.6) de este documento . Debido a que es un potencial termodinámico, debería poder recuperar funciones de estado, es decir, ecuaciones de estado de$U(V,S)$al diferenciarlo.

Debo encontrar la ley de los gases ideales y la ecuación calórica de estado usando

$$\begin{align}\left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S} = -p \quad &\stackrel{?}\Rightarrow\quad pV=Nk_BT \\ \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V} = T \quad &\stackrel{?}\Rightarrow\quad U=\frac{3}{2}Nk_BT \end{align}$$

Tomando la derivada de$U$rendimientos

$$\begin{align} \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_{S} &= -U_0 \frac{2}{3}V_0^{2/3}\frac{1}{V^{5/3}} \text{e}^{\frac{S-S_0}{C_V}} = -p\\ \left(\frac{\partial U}{\partial S}\right)_{V} &= U_0 \left( \frac{V_0}{V} \right)^{2/3} \text{e}^{\frac{S-S_0}{C_V}} \frac{1}{C_V} = T \end{align}$$

Ahora me enfrento a dos opciones:

1. Eliminar$U_0$,$V_0$y$S_0$, que da la ley de los gases ideales,$pV=Nk_BT$. ¿Dónde está el eos calórico?
2. Dejar$V\to V_0$y$S\to S_0$, que produce ambas ecuaciones de estado como se esperaba. Sin embargo, esto$X\to X_0$me parece un argumento de agitar la mano.

¿Por qué solo obtengo una ecuación de estado en la opción 1? ¿Cuál es la razón para realizar la sustitución como se describe en la opción 2?