¿Por qué cuatro velocidades bajo diferencial covariante se consideran cero?

Intuitivamente, las geodésicas son caminos que siguen los objetos únicamente bajo la acción del campo gravitatorio. La derivada de las cuatro velocidades siendo cero significa que "no hay aceleración" en el sentido covariante; es decir, sin fuerzas externas. Estos objetos esencialmente están rodando en el espacio-tiempo, moviéndose en la dirección especificada por la curvatura.

Hay mucho más en su pregunta; por ejemplo, probablemente quiera decir algo más como la siguiente expresión local

$$\mathcal{D}_\nu U^\mu=\partial_\nu U^\mu+\Gamma^{\mu}_{\rho\nu}U^\rho=0$$

donde estoy usando los símbolos de Christoffel para escribir explícitamente la conexión en el paquete tangente (observe que esto ahora es un$(1,1)$-tensor). Esto es lo que queremos decir con "derivada direccional", ya que ahora está diciendo que "la velocidad no cambia en la dirección$\nu$."