Suponga que se encuentra en caída libre radial en algún punto fuera del horizonte de eventos de una métrica de Schwarzchild . El principio de equivalencia fuerte implica que localmente serías incapaz de discernir si de hecho estás en caída libre cerca de un cuerpo gravitatorio o simplemente en reposo en un espacio-tiempo plano. La palabra operativa es "localmente". Si tuviera, digamos, dos bolas de bolos cayendo libremente con usted cerca, entonces (debido a las diferencias en el campo gravitacional) observaría cómo se acercan gradualmente entre sí, un efecto llamado desviación geodésica .
Este fenómeno suele citarse como ejemplo de la naturaleza inexacta de la equivalencia entre gravedad y aceleración o de la naturaleza local del principio de equivalencia, pero me parece que (al menos en ciertas circunstancias) esta equivalencia puede hacerse verdaderamente exacta por apelando a otras explicaciones para las observaciones. Por ejemplo, en la situación descrita anteriormente, las dos bolas de boliche se moverían juntas incluso en un espacio-tiempo nominalmente plano debido a su atracción gravitatoria mutua. Por supuesto, pueden juntarse más rápidamente en la situación de caída libre debido a la adición de las fuerzas de marea, pero sin ningún otro dato, uno podría simplemente concluir que las bolas de boliche tienen más masa de la que realmente tienen, lo suficiente para dar cuenta del exceso. atracción. O alternativamente,constante gravitacional .
Incluso si estas maniobras mentales funcionan como explicaciones, es bastante fácil encontrar ejemplos que parecen socavar un intento de explicar completamente los efectos de las mareas. Por ejemplo, suponga que se encuentra en una órbita circular inestable con una bola de boliche en un radio ligeramente menor y la otra en un radio ligeramente mayor. Con el tiempo, los tres divergirían: uno en espiral hacia adentro, el otro saliendo gradualmente hacia el infinito y tú permaneciendo en tu órbita circular. Sin algunos cambios profundos en la teoría de la gravedad, esta observación parece imposible de cuadrar con el espacio-tiempo plano.
Por otro lado, ambos ejemplos requerirían una preparación muy cuidadosa y mediciones muy delicadas si fueran a realizarse realmente, por lo que no parece del todo inverosímil que la sutileza de los efectos que se miden deje espacio para detalles aparentemente menores que Estoy ignorando para cambiar el resultado de los experimentos, ya sea dejando la puerta abierta a explicaciones plausibles consistentes con el espacio-tiempo plano o proporcionando información adicional para distinguirlas.
¿Hay alguna situación en la que el principio de equivalencia pueda fortalecerse de tal manera que un observador en caída libre en estas condiciones específicas sea completamente incapaz de determinar si está o no en presencia de un cuerpo gravitatorio? De ser así, ¿cuáles serían las condiciones necesarias?
El principio de equivalencia tiene una declaración matemática precisa, y cuando se escribe de esta manera, su significado es inmediatamente obvio para los relativistas generales, pero, por supuesto, no para todos los demás. De ahí las diversas formas que ves escritas en términos un tanto vagos. Simplemente no puede convertir la declaración matemática a lenguaje natural sin perder la precisión.
Ciertamente es cierto que la gente critica el principio de equivalencia por su vaguedad y, de hecho, hemos expresado tales afirmaciones aquí. Estos comentarios revelan una falta de comprensión del significado real, pero es difícil saber cómo abordar esto sin dirigir al denunciante a un libro sobre geometría diferencial.
La afirmación matemática es que las cuatro aceleraciones son la suma de dos términos:
En el lado derecho, el primer término es una aceleración coordinada, lo que consideramos aceleración en la mecánica newtoniana, mientras que el segundo término es una aceleración gravitacional que surge debido a la curvatura del espacio-tiempo.
La razón por la que la ecuación incorpora el principio de equivalencia es que simplemente cambiando nuestras coordenadas podemos hacer que el primer término sea cero o el segundo término cero. Un cambio de coordenadas no es un cambio físico y la magnitud de la aceleración de cuatro no se ve afectada por un cambio de coordenadas, por lo que, mediante la elección de coordenadas, la misma aceleración de cuatro puede hacer que parezca una aceleración de coordenadas completa, una aceleración gravitacional completa o, de hecho, una aceleración. combinación de los dos. Esto significa que es un principio fundamental en GR que las aceleraciones coordinadas y gravitatorias son indistinguibles, ya que pueden intercambiarse simplemente mediante una elección adecuada de coordenadas.
La naturaleza local de la equivalencia se debe a que en cualquier punto del espacio-tiempo puedo elegir coordenadas que hagan que la aceleración gravitacional sea cero, estas se llaman coordenadas normales de Fermi, pero esta equivalencia se aplica solo en el punto que he elegido. Si me alejo de este punto en una dirección espacial o temporal, entonces el segundo término ya no es cero: estas son las aceleraciones de las mareas. El hecho de que existan las aceleraciones de las mareas no refuta el principio de equivalencia, porque no es de eso de lo que se ocupa el principio.
El principio de equivalencia, tal como se establece y se entiende normalmente (¡si se establece correctamente, claro!) Es de hecho una declaración sobre un límite, como usted dice correctamente. Me refiero al límite de pequeñas regiones del espacio-tiempo. La mayoría de las personas que piensen en esto probablemente juzgarán que esta ya es la mejor manera de ver esta equivalencia, porque luego se conecta directamente con la estructura matemática de GR. En particular, se conecta directamente con la noción de que una variedad de Riemann es localmente plana, y permite que el tensor de curvatura sea de hecho un tensor y, por lo tanto, no se puede hacer que vaya a cero en un cuadro si no lo es. cero en otro. Lo que esto significa es que si la curvatura es distinta de cero, entonces está ahí, lista y esperando ser medida, como se podría decir. En particular,
Su sugerencia equivale a decir, ¿podríamos quizás atribuir el efecto de marea de la gravedad (y por lo tanto la curvatura) a algún otro fenómeno que no involucre la curvatura del espacio-tiempo? Una respuesta es: sí, por supuesto. Quiero decir que uno no tiene que adoptar la interpretación geométrica de GR. Uno siempre puede simplemente anunciar que el espacio-tiempo es plano, con una métrica de Minkowski, y atribuir los fenómenos gravitatorios a las fuerzas que actúan en este espacio-tiempo plano. De hecho, este enfoque funciona bastante bien cuando los efectos gravitatorios son débiles. Una gran cantidad de cálculos útiles se realizan prácticamente en esta perspectiva. (Porque uno puede interpretar que GR linealizado adopta este enfoque. No tiene que interpretarlo de esa manera, pero puede hacerlo.
Pero veo que su motivación es tratar de hacer que el principio de equivalencia sea más preciso o ampliarlo un poco. Hay un problema con hacer esto en la línea que sugieres, creo. Si comienza diciendo que simplemente pensará en alguna otra razón para todos los efectos que está tratando de evitar atribuir a la gravitación, y está preparado para introducir nuevas fuerzas e interacciones, entonces supongo que siempre tendrá éxito. Pero el resultado no será explicativo.
Ahora para responder a su último párrafo en negrita. Creo que la respuesta es no. Esto se debe a que si hay un cuerpo gravitando entonces en algún lugar en o cerca de su observador. Por eso en algún lugar en o cerca de su observador. Pero entonces la ecuación de campo implica directamente a su observador (a menos que suceda algo extraordinario, vea a continuación). Entonces están ubicados en un lugar donde la curvatura no es cero. Pueden decir esto midiendo la curvatura.
Pero, ¿podría suceder que sucediera algo extraordinario, a saber, que todos los componentes de por casualidad llegan a cero en algún punto, aunque no sean cero en los puntos cercanos? No conozco tal caso, aparte del espacio-tiempo plano dentro de una cavidad esférica ubicada centralmente dentro de un cuerpo esféricamente simétrico (y ningún otro cuerpo). Pero creo que este no es el tipo de situación que estás buscando. Un caso en el que uno estaba fuera del cuerpo gravitatorio y, sin embargo, sería, creo, un caso tan artificial y limitado que tampoco sería el tipo de cosa que estás buscando. Pero otros pueden saber más sobre esto.
Finalmente, una situación gravitacional que imita bastante bien la aceleración es la situación de un planeta cilíndrico largo. Entonces la aceleración local debida a la gravedad cae como y esto es como la gravedad efectiva en un marco de referencia en constante aceleración en el espacio-tiempo plano. Muchos efectos, como la dilatación del tiempo y el movimiento de la luz en el plano que contiene el eje del cilindro, se imitan muy de cerca. Pero los efectos fuera de ese plano no lo son.
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