¿Por qué consideramos las densidades lagrangianas en la teoría de campos (en oposición a las densidades lagrangianas en la mecánica de puntos)?

La diferencia es que en la mecánica clásica las posiciones son exactamente los campos que estás viendo, mientras que en las teorías generales de campos son las variables de las que dependen los campos reales.

En mecánica clásica la solución de la dinámica viene dada por el conocimiento de la posición y la velocidad$(q(t),\dot{q}(t))$en cualquier momento$t$. El tiempo desempeña el papel del parámetro de ruta que describe la solución en el paquete de fibra del espacio de configuración y, por lo tanto, es el único parámetro libre en el que puede integrarse; por lo tanto, la acción debe ser de la forma

$$S[q,\dot{q}]=\int_{\gamma}dt\,L(q(t),\dot{q}(t);t).$$ En las teorías de campo, esencialmente juegas el mismo juego: los campos son mapas. $x^{\mu}\to\phi(x^{\mu})$dependiendo tanto de las posiciones como de la hora (mientras que antes el único campo era la propia posición, dependiendo de la hora, fíjate en la diferencia). Es posible que desee reflejar la acción anterior como $$S[\phi,\dot{\phi}] = \int_{\mathcal{D_t}}dt\,L(\alpha(t),\dot{\alpha}(t);t)$$ teniendo en cuenta que las nuevas variables ficticias $\alpha(t),\dot{\alpha}(t)$resultan a su vez de la integración de los campos sobre las variables de posición como $$S[\phi,\partial\phi] = \int_{\mathcal{D_t}}dt\, \left(\int_{\mathcal{D'}}d^3x\,\mathscr{L}(\phi(x,t),\partial\phi(x,t);x,t) \right)$$ recopilando lo anterior, simplemente puede definir la acción como $$S[\phi,\partial\phi] = \int_{\mathcal{D}}d^4x\,\mathscr{L}(\phi(x,t),\partial\phi(x,t);x,t).$$ Llamamos Lagrangiana (densidad) a cualquier función que aparezca en la integral. Densidad solo significa que tienes algo que quieres integrar sobre las variables que tienes, nada más que eso. El lagrangiano estándar en la mecánica clásica es una densidad también con respecto a la variable tiempo, solo que no lo llamamos tal (aunque lo es). Luego, como señaló, para que la acción sea invariante de Lorentz, puede eliminar las dependencias explícitas en $(x,t)$, de modo que el Lagrangiano (o la densidad, como queráis llamarlo) acaba siendo invariante bajo traslaciones en el grupo de Poincaré. Se pueden agregar más requisitos para incluir cualquier otra invariancia que queramos.

El uso de la densidad lagrangiana es una conveniencia, y no está directamente relacionado con la causalidad o la relatividad, y tampoco estrictamente con las teorías cuánticas. Lo que quiero decir es que es posible formular teorías de campo no relativistas (cuánticas o clásicas) utilizando exactamente el mismo lenguaje.

La diferencia entre "mecánica" y "teoría de campos" es que, en lugar de usar partículas como objetos fundamentales de la teoría, usamos campos, es decir, funciones.$\phi:X\to \mathbb{C}$. Así, mientras que en mecánica el espacio de fase es una estructura de dimensión finita (p. ej., una variedad), en la teoría de campos es de dimensión infinita (p. ej., el espacio de funciones medibles).

La motivación física es que existen sistemas que son imposibles de describir con un número finito de grados de libertad (por ejemplo, el campo electromagnético). La relatividad especial agrega una motivación importante, en el lado cuántico: las partículas se pueden crear y destruir, por lo tanto, su espacio cuántico relativista debe contener todas las configuraciones posibles con un número arbitrario.$n$de partículas; esto se describe convenientemente matemáticamente considerando el espacio QM de una partícula como el espacio de fase clásico, y construye la llamada cuantización de Fock-Cook (segunda) sobre él. Nuevamente, un espacio de fase de dimensión infinita ($L^2(\Omega)$, para algunos adecuados$\Omega$) tiene que ser considerado.

Una vez que se encuentra en un entorno de espacio de fase de dimensión infinita, la introducción de la densidad lagrangiana es bastante natural y es una cuestión de conveniencia. Dejar$\mathbb{C}^X$Sea el conjunto de funciones de$X$a$\mathbb{C}$, y su espacio de fase de dimensión infinita (o espacio de posición-velocidad para la formulación lagrangiana). Imitando la situación de dimensión finita, desea construir una función (al) de las variables del sistema$\phi\in \mathbb{C}^X$que codifica por completo las informaciones dinámicas. Lo llamamos función lagrangiana.$L:\mathbb{C}^X\to \mathbb{R}$(usualmente tomado como valor real). Por el momento no es importante preocuparse por la distinción entre variables (campos$\phi$) y sus derivados ($\dot{\phi}$); pensar en ellos como "variables independientes" dentro$\mathbb{C}^X$(ya que la posición y la velocidad son de dimensiones finitas).

Ahora, tenemos un objeto.$L(\cdot)$que codifica las informaciones dinámicas, y tiene que ser evaluado en funciones$\phi\in \mathbb{C}^X$. Lo que sucede en la mayoría de las situaciones en la práctica es que el Lagrangiano consta de dos operaciones formales, una que proporciona una información puntual para cada$x\in X$(Dependiendo de$\phi$), y otro que reúne todas esas informaciones proporcionando la evaluación completa$L(\phi)$. La primera es la densidad lagrangiana.$\mathscr{L}:\mathbb{C}^X\to \mathbb{R}^X$(porque generalmente es de valor real), la segunda es la "integración" o podemos llamarla en general la evaluación global$\mathbb{E}_{gl}: \mathbb{R}^X\to \mathbb{R}$. Esta división da como resultado$L=\mathbb{E}_{gl}\circ \mathscr{L}$, y es conveniente si se quiere separar las "manipulaciones puntuales funcionales", realizadas en la densidad lagrangiana, de la evaluación global de estas manipulaciones sobre la totalidad de los puntos.

Sin embargo, aparte de la conveniencia, esta es solo la configuración estándar de espacios de fase de dimensión infinita; ninguna consideración relativista o cuántica involucrada a priori.