¿Por qué calcular la velocidad relativa con vectores arroja resultados diferentes que con distancias?

Question

¿Por qué calcular la velocidad relativa con vectores arroja resultados diferentes que con distancias?

Física
distancia
velocidad
cinemática

al espacio 2

Supongamos que dos puntos están situados en el origen del sistema de coordenadas xy. Dos puntos comienzan a moverse al mismo tiempo. Punto $T_1$ comienza a moverse hacia el norte con velocidad $v_1 = 2.7m/s$ mientras punto $T_2$ comienza a moverse hacia el este con velocidad $v_2 = 1.6 m/s$ y aceleración $a_2 = 0.9 m/s^2$ .
¿Cuál es su velocidad relativa en el tiempo $t = 10s$ ?

1. solución:
podemos describir el punto $T_1$ con vectores $\vec{v_1} = v_1\hat{j}$ y punto $T_2$ con vectores $\vec{v_2} = (v_2+a_2t)\hat{i}$
Si ahora restamos $\vec{v_2}$ de $\vec{v_1}$ obtenemos $\vec{v_r} = v_1\hat{j}-(v_2+a_2t)\hat{i}$
su longitud es $\sqrt{v_1^2+(v_2+a_2t)^2}$

2. solución:
Podemos calcular la distancia entre dos puntos usando el teorema de Pitágoras: $d=\sqrt{(v_1t)^2+(v_2t+\frac{a_2t^2}{2})^2}$
$\textbf{It's derivative is relative velocity.}$

Si ahora graficamos esas dos funciones, no obtenemos el mismo gráfico:

¿Por qué hay una diferencia entre esos dos métodos?

al espacio 2

En realidad, en (2) calculo la derivada de la distancia con respecto al tiempo. ¿Por qué el cambio de distancia con respecto al tiempo no sería su velocidad relativa?

al espacio 2

Seguro que no entiendo tu punto. La primera es una velocidad. Pero en el segundo método, calculo la distancia para poder calcular la derivada de la distancia, que es la velocidad. Seguramente hay algo que estoy haciendo mal, pero no veo por qué el cambio en la distancia con respecto al tiempo no sería su velocidad relativa.

G. Smith

Esta pregunta no debe cerrarse como una tarea porque en realidad involucra una cuestión conceptual importante.

Respuestas (2)

¿Por qué calcular la velocidad relativa con vectores arroja resultados diferentes que con distancias?

En realidad, en (2) calculo la derivada de la distancia con respecto al tiempo. ¿Por qué el cambio de distancia con respecto al tiempo no sería su velocidad relativa?
Seguro que no entiendo tu punto. La primera es una velocidad. Pero en el segundo método, calculo la distancia para poder calcular la derivada de la distancia, que es la velocidad. Seguramente hay algo que estoy haciendo mal, pero no veo por qué el cambio en la distancia con respecto al tiempo no sería su velocidad relativa.
Esta pregunta no debe cerrarse como una tarea porque en realidad involucra una cuestión conceptual importante.

G. Smith · Answer 1

La distancia entre dos puntos... su derivada es la velocidad relativa.

No, no lo es. La derivada de la distancia de separación es el componente de la velocidad relativa a lo largo de la línea entre los dos objetos, no la velocidad relativa (es decir, la magnitud de la velocidad relativa).

\frac{d | r_{1} - r_{2} |}{d t} = \frac{r_{1} - r_{2}}{| r_{1} - r_{2} |} \cdot (v_{1} - v_{2}) \neq | v_{1} - v_{2} |

$\frac{d|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2|}{dt}=\frac{\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2}{|\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_2|}\cdot(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2)\ne|\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2|$

La componente de la velocidad relativa que es perpendicular a la separación no contribuye a la tasa instantánea de aumento de la distancia de separación. Por ejemplo, en el caso de dos objetos en órbitas circulares alrededor de su centro de masa, tienen una velocidad relativa pero no hay cambio en su distancia de separación.

Pido disculpas por mi ignorancia. Esta es una respuesta increíble. Esto funcionaría si los puntos se mueven a lo largo de la misma línea pero no de otra manera. Gracias por la respuesta.
No hay necesidad de disculpas. Este es un malentendido común.

Claudio Saspinski · Answer 2

En el primer caso:

v_{1} - v_{2} = \frac{d r_{1}}{d t} - \frac{d r_{2}}{d t} = \frac{d (r_{1} - r_{2})}{d t}

$\mathbf v_1 - \mathbf v_2 = \frac{ d\mathbf r_1}{dt} - \frac{d\mathbf r_2}{dt} = \frac{d(\mathbf r_1 - \mathbf r_2)}{dt}$

En el segundo caso:

\frac{d | r_{1} - r_{2} |}{d t}

$\frac{d|\mathbf r_1 - \mathbf r_2|}{dt}$

Claramente son diferentes. El segundo mide cómo cambia con el tiempo la distancia entre los observadores, o la velocidad radial, sin considerar la velocidad tangencial.

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G. Smith

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G. Smith

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Claudio Saspinski

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