¿Cuál es la diferencia entre estas dos formas de calcular la velocidad promedio?

Su primera forma de calcular una velocidad promedio es inexacta y realmente debe evitarse.

Sólo el segundo método es exacto. Esta es una consecuencia del cálculo subyacente de la cinemática.

Cuando un objeto viaja (por ejemplo, pero no necesariamente en línea recta), no se requiere que su velocidad sea constante. De hecho, para el caso general asumimos$v$es una función del tiempo , expresada matemáticamente como:

Físicamente la velocidad es la primera derivada de la posición ($x$) al tiempo ($t$):

Para encontrar el desplazamiento$\Delta x$durante un intervalo de tiempo$\Delta t=t_2-t_1$entonces$\Delta x$se calcula por integración:

Esto es cierto independientemente de cómo$v(t)$evoluciona en el intervalo de tiempo$\Delta t$.

Sin embargo, tomar el "promedio" promediando dos lecturas de velocidad no tiene sentido.

Si la aceleración es constante la velocidad viene dada por:

Dónde$v_0$es la velocidad en$t=0$.

Después de un intervalo de tiempo$\Delta t$la velocidad se ha convertido en:

El desplazamiento sería:

la velocidad media$\bar{v}$es:

Usando el primer método:

De modo que en el caso de aceleración constante obtenemos el mismo resultado. Tenga en cuenta que este es el único caso en el que ambos dan el mismo resultado.

Tomar el promedio de la velocidad inicial y la velocidad final no es necesariamente, está asumiendo un cambio lineal en la velocidad que no es la situación general. Entonces solo la segunda fórmula especifica la velocidad promedio.

La ecuación correcta para la velocidad promedio es la segunda ecuación de las dos ecuaciones que diste. El primero es correcto solo bajo la condición dada de que la aceleración del cuerpo es constante. La segunda ecuación incluso es válida para aceleración variable.

La velocidad promedio de una partícula durante algún tiempo transcurrido$\Delta t$es, en palabras, la velocidad constante que da el mismo desplazamiento en el mismo tiempo transcurrido.

Matemáticamente, la velocidad media viene dada por

dónde$\Delta \mathbf{r} = \mathbf{r}_f - \mathbf{r}_i$es el vector de desplazamiento y$\Delta t = t_f - t_i$es el tiempo transcurrido durante el cual se produjo el desplazamiento.

Por ejemplo, considere el caso de que una partícula se mueva con velocidad constante$1 \mathrm{\frac{m}{s}} \hat{\mathbf{x}}$durante 4 segundos y luego con velocidad constante$1 \mathrm{\frac{m}{s}} \hat{\mathbf{y}}$durante 3 segundos.

El vector de desplazamiento para los 7 segundos de movimiento es, por inspección,

y así, la velocidad promedio durante los 7 segundos es

Claramente, si otra partícula tuviera esta velocidad constante y comenzara en el mismo punto inicial al mismo tiempo que la primera partícula, las dos llegarían al mismo punto final al mismo tiempo.

Por otro lado, la cantidad

es un promedio de dos velocidades , lo cual no es particularmente útil o significativo, no es una velocidad promedio que tiene un significado claro y útil.

Hay dos casos especiales:

(1) En el caso de que la partícula pase la mitad del tiempo transcurrido a una velocidad constante$\mathbf{v}_1$y pasa la otra mitad del tiempo transcurrido a una velocidad constante$\mathbf{v}_2$, entonces la velocidad promedio es solo el promedio de las dos velocidades.

(2) En el caso de que la partícula tenga aceleración constante, la velocidad aumenta linealmente con el tiempo y por tanto el desplazamiento por unidad de tiempo (y trabajando en 1-D)

y por lo tanto, la velocidad promedio es solo el promedio de las velocidades inicial y final.