¿Cuál es la distancia "verdadera" que recorre un objeto en función de las velocidades relativas?

Para especificar la distancia que ha recorrido un objeto, también debe especificar su posición relativa a algún punto de referencia inicial. En el contexto de su pregunta, no hay una "distancia real" o una "distancia absoluta" que haya viajado un objeto. En cambio, todas las medidas de distancia son relativas y la posición de un objeto se describe haciendo referencia a algún sistema de coordenadas o un punto en el espacio.

En tu ejemplo, tienes dos objetos que se mueven a diferentes velocidades. Luego fuiste a especificar sus posiciones después de cierto tiempo, en relación con el mismo punto de la tierra. Luego calculó la distancia relativa entre cada objeto y obtuvo otro valor. Hasta ahora, todo bien.

Pero luego preguntaste "¿ Cuál es la distancia "verdadera" que recorre el objeto y? " ¿La respuesta es relativa a qué? ¿Relativo al punto original en la tierra, o relativo al otro objeto, la luna, o qué?

Entonces, la distancia que recorre un objeto siempre se mide en relación con algún punto de referencia, generalmente donde el objeto comienza su movimiento, o cualquier otro punto en el pasado.

Hay una distancia "verdadera" en la relatividad, pero implica tanto el espacio como el tiempo. La verdadera distancia que recorre un objeto en el espacio-tiempo entre dos puntos se denomina "tiempo propio" y es igual al tiempo transcurrido en un reloj que se lleva junto con el objeto. Un observador que se mueve en relación con el objeto creerá que el tiempo del reloj se ralentiza por la dilatación del tiempo, pero también creerá que el objeto se mueve en el espacio, y la distancia espacio-temporal$ds^2 = dt^2 - \frac{dx^2}{c^2} - \frac{dy^2}{c^2} - \frac{dz^2}{c^2}$será calculado por ambos observadores como el mismo.

Entonces, como dije en mi comentario, la forma en que definimos la distancia en la relatividad galileana es completamente, bueno... relativa . Decimos que si un observador tiene un vector de posición$x$entonces la distancia que recorrieron es$\int_t |\dot{x}(t)|dt$(si no está familiarizado con el cálculo, puede pensar que se define como sumar su velocidad multiplicada por intervalos de tiempo infinitesimalmente pequeños). Puede ver en la estructura de la definición que si realiza un cambio de referencia (en relatividad galileana,$x'=x-vt$, y restringiéndonos a marcos de referencia inerciales), la distancia entonces se vuelve$\int_t|\dot{x}-v|dt$que es claramente diferente.
En otras palabras, la distancia galileana no es una propiedad geométrica. Déjame elaborar. En geometría, podemos referirnos a las propiedades geométricas como propiedades que son verdaderas sin importar cómo las mires. Cosas como la suma de los ángulos internos de un polígono, la longitud de un vector, el ángulo de dos rectas o vectores; todas estas cosas son propiedades de los objetos geométricos mismos, no de las formas que usamos para describirlos. Tome un vector; por ejemplo, el vector$v=1\,e_1+1\,e_2$, donde el$e_i$son los vectores de base cartesiana$(1,0),(0,1)$. El largo de$v$es$\sqrt{2}$. Ahora tome una nueva base que sea el doble de grande que la base cartesiana. El largo de$v$es entonces todavía$\sqrt{(\frac{1}{2}2\,e_1)^2+(\frac{1}{2}2\,e_2)^2}=\sqrt{2}$(nótese que los componentes se transforman en$\frac{1}{2}$porque estás usando una "regla" que es el doble de grande. Esto se visualiza mejor si realmente dibuja este vector). La distancia galileana no es este tipo de propiedad.
Si nuestro universo no cumpliera con las leyes de la Relatividad General y Especial, este podría ser el final de la historia. Sin embargo, esta invariancia geométrica de las longitudes de los vectores en geometría nos inspira a buscar una nueva definición. Verás, medir la longitud y la distancia depende del tipo de geometría que estés viendo: medir la longitud de una línea en un plano no se hace de la misma manera que medir la longitud de una línea en una superficie esférica. Sin profundizar demasiado, solo para que pueda buscarlo, esta "diferencia en la medición de longitudes" se describe mediante un objeto matemático llamado tensor métrico ., que es, entonces, una especie de regla geométrica invariante (en el sentido de que puedes usarla sin importar el tipo de geometría que estés viendo) que te permite medir distancias. Lo que se hace formalmente en relatividad especial y general es entonces definir una nueva geometría, compuesta de espacio y tiempo, en la que este tensor métrico es tal que la distancia recorrida por un observador es también una propiedad geométrica. Lo llamamos tiempo propio porque coincide con el tiempo que mide un reloj sujeto al observador en su recorrido, y viene dado por: