¿Por qué cada modo del campo electromagnético tiene dos grados de libertad?

En la derivación de la ley de Rayleigh-Jeans, utilizando el teorema de Equipartición, el número de modos por unidad de frecuencia por unidad de volumen se multiplica por k T , lo que implica que cada modo resonante electromagnético tiene dos grados de libertad.

Los he considerado como la amplitud del campo eléctrico y la amplitud del campo magnético, pero ambos son proporcionales en el vacío.

También he considerado que son las dos polarizaciones posibles de cada modo, pero eso ya se tiene en cuenta cuando se cuentan los modos.

¿Estás seguro de que ya está contabilizado?

Respuestas (2)

¡Esta es una buena pregunta, pasada por alto en muchos libros de texto! Comencemos con el campo electromagnético hamiltoniano,

H ∼ 1 2 ( mi 2 + B 2 ) .
Ingenuamente se diría que mi y B son los dos grados de libertad, dando el factor de dos. Pero como usted notó, esto no es correcto. Los campos mi y B no son variables de espacio de fase conjugadas, por lo que el razonamiento no pasa por analogía con el oscilador armónico
H ∼ 1 2 ( pag 2 + ω 2 X 2 ) .
En efecto mi y B en cambio, son proporcionales, como notó. Otra indicación de que algo anda mal es que debería haber un ω 2 delante de uno de los términos.

Un modo del campo electromagnético es realmente análogo a un oscilador armónico, pero el argumento requiere más atención. Notamos eso mi es el momento conjugado de A , y reescriba el hamiltoniano en términos de estas variables. Usamos B = ∇ × A y trabajo en calibre de Coulomb ∇ ⋅ A = 0 , que elimina una de las polarizaciones. Eliminando todas las constantes, integrando por partes y usando ω 2 = k 2 , encontramos

H ∼ 1 2 ( mi 2 + ω 2 A 2 ) .
Este es de hecho un oscilador armónico, dando el factor deseado de 2 .

Respuesta increíble pero, ¿cómo hacemos para probar mi es A ¿Es el momento conjugado?
@ user140323 Recomiendo comenzar desde el Lagrangiano, L = − 1 4 F m v F m v , donde es inequívoco que A m es la 'posición generalizada'. A continuación, puede mostrar mi es el momento conjugado de A por diferenciación directa. Es más complicado a partir del "Hamiltoniano" mi 2 + B 2 porque no está en las variables correctas, pero supongo que puede aplicar ingeniería inversa al exigir que las ecuaciones de Maxwell sean las ecuaciones de Hamilton.
Además, una posible trampa: no hay momento conjugado para A 0 porque el electromagnetismo es raro. Resolví este problema yendo directamente al calibre de Coulomb.

El teorema de equipartición clásico para osciladores armónicos unidimensionales da una energía cinética media de k 2 y una energía potencial media k 2 de modo que la energía media total es k . Análogamente, los modos electromagnéticos se pueden considerar como osciladores armónicos que tienen una energía media total (cinética y potencial) de k .

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