Feynman Lectures Vol I 41-2: ¿por qué ωω\omega puede reemplazar ω0ω0\omega_{0} al derivar la ley de Rayleigh?

NB: Entiendo que el modelo presentado aquí es el modelo clásico "fracasado". Solo estoy tratando de entender el razonamiento formal del modelo.

En Las conferencias de Feynman sobre física vol. yo cap. 41-2 Equilibrio térmico de la radiación Feynman comienza con el modelo de un gas enrarecido confinado en una caja perfectamente reflejada, en equilibrio térmico con la radiación electromagnética ambiental en la caja. Él asume que los átomos de gas son osciladores clásicos de frecuencia natural. ω 0 , y, por lo tanto, establece la Ecuación 41-12

I [ ω 0 ] = 9 γ 2 k T 4 π 2 r 0 2 ω 0 2 .

La derivación comienza con la suposición de que los átomos tienen una frecuencia resonante ω 0 . pero el nos dice

Luego sustituimos la fórmula (41.6) [ γ = ω 0 q = 2 3 r 0 ω 0 2 C , ] para gamma (no te preocupes por escribir ω 0 ; ya que es cierto para cualquier ω 0 , podemos simplemente llamarlo ω ) y la fórmula de I [ ω ] luego sale

I [ ω ] = ω 2 k T π 2 C 2 .

Continúa diciendo:

Primero, notemos una característica notable de esa expresión. La carga del oscilador, la masa del oscilador, todas las propiedades específicas del oscilador, se cancelan, porque una vez que hemos alcanzado el equilibrio con un oscilador, debemos estar en equilibrio con cualquier otro oscilador de diferente masa, o seremos en problemas.

No estoy seguro de cómo comprender eso. Mi mejor conjetura es que significa, dado un gas de átomos resonantes en ω 0 en equilibrio térmico con la radiación ambiental de una cavidad perfectamente reflectante, si otro tipo de átomo con frecuencia natural ω 1 se mezclaron a la misma temperatura y presión, no habría cambios en el perfil de radiación ambiental. Es decir, el gas original "no notaría la diferencia".

Por lo tanto, podemos suponer que el perfil de radiación es independiente de los tipos de osciladores presentes. Es decir, la intensidad a la frecuencia ω y temperatura T es lo mismo, haya o no osciladores atómicos resonantes en ω .

¿Es esa una buena manera de pensar en esto?

PD: En el pasado, cuando leía estas conferencias, intentaba "comprender" los temas lo suficientemente bien como para justificar pasar la página. Esta vez intento resumirlo todo. Es mucho más difícil de lo que esperaba.

Respuestas (1)

Creo que en este modelo se supone que el cuerpo negro contiene osciladores de todas las frecuencias naturales posibles. ω (dado que el cuerpo negro es, por definición, capaz de absorber todas las frecuencias). Cada uno de estos osciladores contribuye a la radiación electromagnética ambiental presente en la caja cuando todo el sistema ha alcanzado el equilibrio térmico.

Ahora consideramos solo osciladores con frecuencia natural. ω 0 . En equilibrio necesitamos que estos emitan exactamente la misma cantidad de radiación que absorben de la radiación ambiental (si no, perderían energía y todo el sistema se enfriaría). Del análisis de Feynman vemos que para que esto suceda la intensidad de la radiación ambiental con frecuencia ω 0 debe ir como ω 0 2 (las intensidades de otras frecuencias no son importantes ya que solo las cercanas ω 0 son absorbidos). Pero podemos aplicar el mismo argumento para todos los demás osciladores de todas las demás frecuencias posibles, deduciendo que para cualquier frecuencia ω la intensidad de la radiación ambiental de esa frecuencia es como ω 2 .

Mi lectura de Feynman es que el perfil de radiación de cuerpo negro clásico es el mismo si hay una especie de oscilador con frecuencia natural ω 0 ; dos tipos de osciladores con resonancia en ω 0 y ω 1 , respectivamente; norte tipos, cada uno con su propia frecuencia de resonancia, o una distribución continua. Además, no hay especificación de la densidad numérica relativa de cada tipo de oscilador. Entonces, sin importar cuál sea la combinación de osciladores, la distribución clásicamente predicha estará dada por la misma fórmula: I [ ω ] = ω 2 k T π 2 C 2 .
No, debemos suponer que están presentes osciladores de todas las frecuencias. Si solo tuviéramos una especie de oscilador con frecuencia. ω0 solo pudimos deducir del argumento de Feynman que en la radiación ambiental I[ω0] va como ω0^2. El argumento no nos permite decir nada sobre la intensidad del general ω. Solo si asumimos que están presentes osciladores de todas las frecuencias podemos reemplazar ω0 por ω. Debería poder ver que la densidad numérica relativa de cada tipo de oscilador no importa en el argumento (¡solo un oscilador en cualquier frecuencia particular sería suficiente!)
Estoy familiarizado con el modelo de radiación de cuerpo negro para una distribución continua de osciladores. Un metal con electrones libres de "conducción" y hollín son dos ejemplos. Presta atención a la segunda cita incluida en el post original: "...una vez que hemos alcanzado el equilibrio con un oscilador, debemos estar en equilibrio con cualquier otro oscilador..." Aplicado a una sola especie de oscilador, con una sola frecuencia fundamental , (como yo lo entiendo) Feynman afirma que el perfil es indistinguible del de una distribución continua de frecuencias fundamentales.
La declaración citada de Feynman es correcta. Quiere decir que si pensamos que un oscilador en el gas ha alcanzado el equilibrio, todos los demás presentes también deben tenerlo. Entonces, es mejor que la fórmula para la radiación ambiental no dependa de la masa del oscilador, ya que entonces dos osciladores de la misma frecuencia resonante w0 pero con diferentes masas nunca podrían alcanzar el equilibrio porque ambos necesitarían diferentes intensidades de la radiación ambiental en w0 dependiendo de su masa .
Tu segunda afirmación es incorrecta. Si tuviéramos un gas que contuviera osciladores de una sola frecuencia natural, entonces claramente tendríamos solo una frecuencia de radiación presente en la radiación ambiental: la frecuencia resonante del oscilador.
Hay contribuciones a la distribución de frecuencias distintas del rango resonante de los osciladores atómicos "clásicos". Hay una cavidad perfectamente reflectante que limita el sistema de átomos y radiación. A medida que la radiación rebota, produce interferencias que involucran frecuencias distintas a ω 0 . " … todas las propiedades específicas del oscilador, cancelar , … . … el equilibrio no depende de aquello con lo que estemos en equilibrio, sino sólo de la temperatura. El modelo clásico no involucra osciladores atómicos de frecuencias arbitrariamente altas.
De acuerdo, no puedo explicar cómo podemos reemplazar w0 por w de otra manera, así que no creo que pueda ayudar. Gracias por la pregunta, espero que alguien más pueda opinar.
Feynman Lectures Vol I 41-2: ¿por qué ωω\omega puede reemplazar ω0ω0\omega_{0} al derivar la ley de Rayleigh?
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