Radiación de cavidad discreta frente a radiación continua de cuerpo negro, ¿violación de la segunda ley de la termodinámica?

La ley de Planck establece que la emisión de luz es

digamos que$I_\nu$es la energía emitida desde la superficie del cuerpo negro por unidad de área por unidad de ángulo sólido por unidad de tiempo.

Si el cuerpo negro está emitiendo hacia el espacio vacío libre, sabemos que la densidad de los estados de fotones es,

Y como los fotones son bosones$f(\hbar\omega, T)$es la distribución de Bose-Einstein.

Entonces, dos cavidades de cuerpo negro que irradian hacia el espacio libre eventualmente se equilibrarán entre sí intercambiando radiación de cuerpo negro en todas las longitudes de onda,

Si ahora coloca un filtro entre las cavidades que solo pasa energía a una frecuencia de fotón único.

Esto no cambia nada fundamental porque aún pueden intercambiar energía y eventualmente alcanzarán la misma temperatura.

Es como modificar la densidad de estados con una función delta,

Primero, algunos hechos experimentales de la observación. Si mira a través de un pequeño orificio en una cavidad a la temperatura T, verá el espectro de Planck continuo dado por su fórmula. 1) No verá ninguna variación debido a los modos de la cavidad. 2) La emisividad de las paredes de la cavidad tampoco hace ninguna diferencia. El material de las paredes (hollín, plata, cobre, madera o algodón de azúcar) no hace ninguna diferencia en el espectro de Planck visto. ¿Cómo puede ser esto?

1. La densidad de frecuencia de los modos resonantes de la cavidad se utilizó en la derivación del espectro de Planck. Pero ninguna cavidad tiene paredes de resistividad cero. Para muros con cierta resistividad, las ondas estacionarias de cualquier frecuencia pueden cumplir las condiciones de contorno. Las colas de estas ondas "no resonantes" se extienden hacia las paredes y disipan rápidamente su energía en la resistencia de las paredes. Con una duración tal vez de una sola oscilación, estas ondas tienen un Q muy bajo en comparación con los modos resonantes. Consideremos ahora que la onda estacionaria es la suma de los reflejos de una onda plana que rebota entre paredes opuestas. Para frecuencias no resonantes, este fotón quizás haga un viaje a través de la cavidad antes de ser absorbido. Para una frecuencia resonante, el fotón realiza 1000 viajes a través de la cavidad antes de ser absorbido. Sin embargo, debido a que emisividad = absortividad, los osciladores excitados térmicamente en las paredes están emitiendo 1000 veces más fotones/seg para la frecuencia no resonante versus resonante. Si ahora miramos un volumen en el medio de la cavidad, vemos la misma densidad promedio de fotones de 1000 fotones x 1 viaje o 1 fotón x 1000 viajes. Los modos de la cavidad no hacen ninguna diferencia en la densidad del número de fotones a diferentes frecuencias.

2. Podríamos usar de nuevo el argumento de rebote de ida y vuelta con la emisividad=absorción de Kirchoff, pero hagamos su argumento termodinámico. Dos cavidades, hechas de diferentes materiales, están conectadas por un pequeño orificio con un filtro que pasa la frecuencia.$\nu \pm \Delta \nu$. Las dos cavidades han llegado a la temperatura T. La potencia que pasa por el filtro en ambas direcciones debe ser la misma o podríamos usar el flujo desequilibrado de energía para hacer trabajo. Esto violaría la segunda ley de la termodinámica al obtener trabajo utilizable de dos baños de calor a la misma temperatura. Kirchoff concluyó que había un espectro universal, independiente del material de la cavidad, que emergía de todas las cavidades, aunque Planck dejó que dedujera la función real. También puede concluir que las cavidades no pueden mostrar ningún pico debido a los modos. De lo contrario, el filtro podría configurarse para pasar un pico de la primera cavidad que la segunda cavidad no tenía. La energía pasaría nuevamente desde una cavidad a la temperatura T y calentaría una cavidad a la misma temperatura T, violando la segunda ley.

Entonces, la resolución de la pregunta original de la operación es que el espectro del cuerpo negro en las cavidades es universal y no muestra modos. Esto no quiere decir que los modos de cavidad no puedan ser excitados por una antena en la cavidad que transmita energía desde un generador de onda sinusoidal. Además, el espectro de cuerpo negro de un radiador, que no está en equilibrio térmico con su$4\pi$rodea, se modifica por la emisividad de su material.

Creo que tu argumento y conclusión son correctos. Una cavidad que irradia solo a frecuencias discretas no se comportará como un radiador de cuerpo negro y emitirá más energía de la que recibe en esas frecuencias discretas.

Es la suposición la que es incorrecta: la idea de que la cavidad perfectamente reflectante con radiación en equilibrio irradia en frecuencias discretas. La radiación de equilibrio significa que todas las frecuencias son posibles, no solo algunas discretas.

La idea de que solo hay ondas de frecuencias discretas dentro de la cavidad probablemente proviene de la derivación habitual de la fórmula de Rayleigh-Jeans o Planck, donde el campo se expande en series de Fourier.

La serie de Fourier tiene la propiedad de que al expresar la función de posición$x$, solo ondas sinusoidales con múltiplos enteros de un número de onda fundamental$\frac{\pi}{L}$están presentes, donde$L$es el tamaño de la región donde buscamos expresar la función como serie de Fourier. Por lo general, se considera que esta región es todo el interior de la cavidad, pero nada nos impide tomar una caja más grande con una longitud lateral$2L$.

Con el doble de dimensiones de la región integradora, obtenemos el doble de números de onda densos y el doble de frecuencias correspondientes densas.$\omega_{nlm} = \frac{\pi c\sqrt{n^2+l^2+m^2} }{2L}$. En lugar de una frecuencia fundamental (más baja) en$\frac{\pi c\sqrt{3}}{L}$obtenemos la frecuencia fundamental en$\frac{\pi c\sqrt{3}}{2L}$, que es inferior. He aquí, apareció radiación a una frecuencia más baja, ¡solo debido al uso de una región de integración diferente!

Está claro que la posición de las singularidades y sus puntos fuertes son un artefacto de la región de integración finita particular en el método de la serie de Fourier. Son correctos para la región utilizada, pero hay infinitas otras opciones.

Si usamos la expansión integral de Fourier en lugar de la expansión de la serie de Fourier, no hay$L$en las fórmulas, y sin discreción en la amplitud de Fourier$\tilde{E}_x(k,l,m)$como función de números de onda continuos$k,l,m$. Todo se convierte en cantidades continuas únicas.

Entonces, la radiación de equilibrio dentro de una cavidad que refleja perfectamente no es (excepto cerca de las paredes de la cavidad) físicamente diferente de la de una cavidad más grande o la radiación de una cavidad que tiene paredes hechas de cuerpo negro a la misma temperatura.