¿Por qué bajo las transformaciones de Lorentz el bosón de Higgs es un campo escalar y bajo SU(2)SU(2)SU(2) es un doblete?

No puedo dar una respuesta usando paquetes de fibra, pero no creo que sea importante ya que la confusión está en un nivel mucho más simple.

Un campo puede estar en diferentes representaciones para diferentes grupos de simetría. El campo de Higgs está en la representación trivial del grupo de Poincarre, es decir, bajo transformaciones de Lorentz,$\phi(x)\to \phi(\Lambda x)$, pero en representación no trivial de varias simetrías internas (un doblete de SU(2)$\phi(x)\to U \phi(x)$, en la representación no trivial de U(1), pero sí en la representación trivial de SU(3) (asociada a QCD)). Si esta simetría se mide o no, no importa aquí.

Editar: con el campo descrito anteriormente (doblete de SU (2), repetición trivial de Poincarre y SU (3), no trivial de U (1)), encontramos que solo necesitamos dos campos complejos$\phi(x)\equiv(\phi_1(x),\phi_2(x))$(de modo que$\phi : M\to \mathbb{C}^2$).

Las transformaciones son así ($a=1,2$):

• lorentz:$\phi_a(x)\to \phi_a(\Lambda x)$,
• SU(3) :$\phi_a(x)\to \phi_a(x)$,
• SU(2) :$\phi_a(x)\to U_{ab}\phi_b(x)$,
• U(1) :$\phi_a(x) \to e^{i \theta} \phi_a(x)$.

Consideremos un ejemplo y tomemos el Lagrangiano de Weinberg-Salam:

$$\mathscr{L} = i\bar{\psi}\gamma\cdot\partial\psi - m\bar{\psi}\psi$$ y adaptémoslo al caso que describe electrones y neutrinos como $$\mathscr{L} = i\bar{\textrm{e}}_R\gamma\cdot\partial\textrm{e}_R + i\bar{\textrm{e}}_L\gamma\cdot\partial\textrm{e}_L + i\bar{\nu}_L\gamma\cdot\partial\nu_L$$ donde hemos descompuesto el espinor $\psi$en su proyección izquierda (respectivamente derecha) e hizo uso de la suposición física de que aún no se han encontrado neutrinos de hélice derecha (por lo tanto, no aparecen en el Lagrangiano). Todos los campos son sin masa, ya que la masa se generará a través del mecanismo de Higgs y la ruptura de la simetría. Suponemos, además, que el grupo interno de transformaciones (si lo hay) transformará campos en campos con las mismas propiedades físicas; por lo tanto afirmamos $$L = \begin{pmatrix}\nu_L\\ \textrm{e}_L\end{pmatrix}\qquad R = \textrm{e}_R$$ de modo que $$\mathscr{L} = i\bar{R}\gamma\cdot\partial R + i\bar{L}\gamma\cdot\partial L$$ si asumimos $R$transformar bajo la representación unidimensional de $SU(2)$y L bajo el bidimensional estándar, entonces podemos reclamar el Lagrangiano anterior en invariante bajo $SU(2)$transformaciones. Si la estructura es así, cualquier campo adicional que introduzcamos debería tener como máximo una forma similar, por lo que el campo de Higgs se puede escribir como $$\Phi = \begin{pmatrix}\phi^+(x)\\ \phi^0(x)\end{pmatrix}$$ donde el superíndice $+,0$es tal debido al isospin (pero también podemos haberlos llamado $\phi^{1,2}$). Ahora está claro que para preservar la invariancia de la estructura inicial, el nuevo campo de Higgs debe transformarse como $$\Phi' = \begin{pmatrix}{\phi^+}'\\ {\phi^0}'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\ldots && \ldots \\ \ldots && \ldots\end{pmatrix} \begin{pmatrix}{\phi^+}\\ {\phi^0}\end{pmatrix} = \Lambda(SU(2))\Phi$$ donde la matriz grande es una representación bidimensional de $SU(2)$.

Aplicar una transformación de Lorentz local$\Gamma$en el punto$x$sobre el cual se encuentran los componentes de los campos de Higgs$\phi^{+,0}$depende que tengamos, sin embargo,

$$\Phi'(x') = \Phi'(\Gamma x) = \Phi(x)$$ según el requisito de que $\Phi$es un campo escalar en la representación de Lorentz.

Cuando decimos campo escalar, espinor, vectorial, etc., nos referimos a qué representación del paquete de marcos pertenece el campo. O en notación de índice, qué índices de espacio-tiempo tiene el campo: ninguno, espinor, vector, etc. Podemos combinar esto con simetrías internas que son$G$-paquetes para algún grupo de calibre$G$, Por ejemplo$SU(2)$. En los índices, se trata de algún índice interno adicional. Por ejemplo, el potencial de calibre en QCD generalmente se escribe$A_{\mu a}$dónde$\mu$es el índice vectorial y$a$el color ($\operatorname{ad} SU(3)$) índice.

La forma de hacerlo es que si$E,F$son paquetes de vectores sobre$M$entonces existe un paquete$E \otimes F$encima$M$tal que la fibra es$e \otimes f$. El grupo de estructuras de este paquete de productos es el producto de los grupos de estructuras de$E,F$. Así podemos hablar de las cosas como un$SU(2)$escalar singlete o un$SU(3)$triplete espinor. En el caso anterior$E$es el paquete lineal trivial y$F$el$SU(2)$haz doblete. [La demostración de este teorema consiste en escribir el enunciado en una sección local y comprobar que los mapas de transición funcionan correctamente. Para esto lo que se necesita es que$u \otimes v$es suave en ambos argumentos utilizando la noción habitual de derivadas en espacios vectoriales de dimensión finita. Por lo tanto, la declaración se generaliza a funtores como$\wedge,\oplus$. ]