¿En qué representación se encuentran los campos en una teoría de calibre?

No estoy de acuerdo con la respuesta de Bruce Lee. Los campos de materia pueden estar en cualquier representación del álgebra de Lie del grupo de indicadores; en qué representación se encuentran debe especificarse al definir la teoría. (Bueno, técnicamente los campos de materia no se encuentran en la representación en sí, sino en el espacio vectorial sobre el que actúa la representación). Por ejemplo, en el modelo estándar, tanto el campo de Higgs como el campo de Weyl$l$que contiene el campo de neutrinos y el$e$parte del leptón cargado se encuentra en la repetición fundamental de$\mathfrak{su}(2)$pero el representante trivial de$\mathfrak{su}(3)$, mientras que la$\bar{e}$parte del leptón cargado se encuentra en la repetición trivial de ambos$\mathfrak{su}(2)$y$\mathfrak{su}(3)$. Del mismo modo, el$q$campo que contiene el$u$y$d$partes de los quarks se encuentra en el$3$representante (fundamental) de$\mathfrak{su}(3)$y el representante fundamental de$\mathfrak{su}(2)$, mientras que la$\bar{u}$y$\bar{d}$Partes de los quarks se encuentran en el$\bar{3}$(complejo conjugado de la fundamental) representante de$\mathfrak{su}(3)$pero el representante trivial de$\mathfrak{su}(2)$.

Los propios campos de calibre se encuentran en diferentes representaciones del álgebra de Lie del grupo de calibre en diferentes términos en el Lagrangiano, dependiendo de a qué están acoplados. En el término cinético de los campos de norma$-\frac{1}{2} \text{Tr} \left( F^{\mu \nu} F_{\mu \nu} \right)$, se encuentran en la rep fundamental. En términos que toman la forma$D_\mu \varphi D^\mu \varphi$donde los campos de calibre se acoplan a los campos de materia a través de la derivada covariante, se encuentran en la misma representación que los campos de materia a los que están acoplados.

Ahora suponga que el campo de calibre se encuentra en la representación fundamental y considere una transformación de calibre infinitesimal$U = I - i g \theta(x) + o(\theta^2)$. El campo escalar$\theta_{ij}(x)$es un operador lineal en la repetición fundamental del álgebra de Lie. Pero si lo descomponemos en una base particular de generadores$\{ T^a_{ij} \}$como$\theta_{ij}(x) = \phi_a(x) T^a_{ij}$, entonces cada componente del nuevo campo$\phi_a(x)$especifica el peso de un generador en la transformación infinitesimal.$\phi(x)$por lo tanto, se encuentra en el espacio vectorial sobre el que actúa la representación adjunta del álgebra de Lie , por lo que matemáticamente parece un campo de materia en la representación adjunta. El campo de calibre se transforma como$A_\mu(x) \to A_\mu(x) - D_\mu \phi(x)$, donde el campo de calibre fuera de la derivada covariante está en la representación fundamental, pero el campo de calibre dentro de la derivada covariante se encuentra en la representación adjunta (porque está acoplado a un escalar en la representación adjunta).

Editar: después de una mayor reflexión, en qué representación se encuentra el campo de indicador depende de cómo lo piense. Si expande la derivada covariante, entonces el término que une los campos de calibre y materia siempre se ve así

Pero hay otra forma de pensarlo, que es el enfoque que usa el libro de texto QFT de Srednicki y la forma en que lo usé arriba: el campo$A_\mu^a(x)$siempre se contrae con las matrices generadoras$(T_R)^a_{ij}$en alguna representación. (Aunque a veces esta contracción no es explícita, porque las matrices generadoras están implícitamente "ocultas" en los símbolos invariantes$f^{abc}$o$d^{abc}$, que se definen en términos de ellos). Por lo tanto, podría decirse que es más sencillo pensar en la cantidad contratada

Las cosas son un poco diferentes para el término cinético.$\mathcal{L}_\text{kin} = -\frac{1}{4} F^{a \mu \nu} F_{a \mu \nu}$(bajo la primera convención, donde el$A_\mu^a$los vectores de color se consideran los campos primarios) o$\mathcal{L}_\text{kin} = -\frac{1}{2} \text{Tr}(F_{\mu \nu} F^{\mu \nu})$(bajo la segunda convención, donde el$(A_\mu)_{ij}$los operadores de color se consideran los campos primarios). Resulta que aquí ni siquiera necesita especificar una representación en absoluto: solo necesita la información contenida en la estructura abstracta del álgebra de Lie, donde los elementos del álgebra de Lie no se consideran operadores lineales con una estructura de conmutador. , pero solo como vectores con una estructura de soporte de Lie abstracta. La estructura de paréntesis de Lie es suficiente para definir un producto interno bilineal simétrico en el álgebra de Lie abstracta llamada (negativo de) forma de Matar .. Cuando decimos "Traza" en el término cinético, en realidad nos referimos a esta forma de Matar: no necesitamos tomar la traza de ningún operador lineal en ninguna representación en particular. Entonces, el término cinético es completamente independiente de la representación. (Por lo general, requerimos que el grupo de indicadores sea compacto y semisimple para que el formulario de matanza tenga una firma definitiva, de modo que el término cinético esté delimitado a continuación).

Los campos de materia se transforman bajo la representación fundamental del grupo calibre G, mientras que los campos calibre se transforman bajo la representación adjunta del mismo grupo. El grupo de Poincaré es diferente del grupo de calibre en el sentido de que es un grupo de simetría global (es decir, las transformaciones generadas no dependen de$x^\mu$) mientras que los grupos gauge son grupos de simetría local donde las transformaciones generadas dependen de$x^\mu$.