Agujeros negros cargados y AdS/CFT

También soy nuevo en el tema, pero intentaré compartir lo que he aprendido hasta ahora si aún no ha encontrado las respuestas. En primer lugar, dado que queremos introducir un Agujero Negro cargado a granel ($Reissner$-$Nordstr\ddot{o}m$-$AdS$Black Hole), será dual a una teoría de campo a temperatura finita y densidad de carga con la función de partición del gran conjunto canónico:

$$\mathcal{Z}=tr\Big[\exp \Big(-\beta \,(\hat{H}-\sum\limits_{i}{{{\mu }_{i}}{{{\hat{Q}}}_{i}}})\Big)\Big]$$ dónde $\beta$es la temperatura inversa y ${\mu}_{i}$son los potenciales químicos asociados con las cargas ${\hat{Q}}_{i}$que a su vez son las cargas de Noether asociadas con las corrientes conservadas $J_{(i)}^{\nu }$bajo global $U(1)$simetría. Para $\mathcal{N}=4\,$SYM, estas corrientes se conservan bajo el $U(1)$subgrupo del mundo $SO(6)$R-simetría [1][2].

Ahora, por simplicidad, primero consideremos el puro$Ad{{S}_{5}}$con un campo de calibre local eléctrico distinto de cero${{A}_{0}}(z)$, donde el índice es para su componente temporal. Resolver las ecuaciones de movimiento producirá una solución asintótica de la forma:

$${{A}_{0}}\simeq A_{0}^{(0)}(1+A_{0}^{(1)}{{z}^{2}}) \quad as \quad z\to0$$ Por el diccionario AdS/CFT, dado que la función de partición de la teoría de campos tendrá el término fuente adicional de la forma $\int{{{d}^{4}}x}\,{{J}^{\mu}}{{A}_{\mu}}$, por lo tanto, el valor límite del campo de calibre a granel (es decir, $A_{0}^{(0)}$) será la fuente (es decir, el potencial químico) conjugada con la densidad de carga conservada $J^0$[3].

Ahora bien, teniendo en cuenta el razonamiento anterior, en el caso de$Reissner$-$Nordstr\ddot{o}m$-$AdS$BH tendremos el siguiente formulario para el campo de calibre a granel:

$${{A}_{0}}\propto Q\,(z_{h}^{d-2}-{{z}^{d-2}})\quad for \quad d\ge 3$$ dónde $z_{h}$es la ubicación del horizonte de eventos obtenido por $f(z_{h})=0$. Puedes encontrar la forma explícita de $f(z)$en [4]. Ahora recuerde que el potencial químico es el valor límite del campo de calibre, por lo que tendremos: $$\mu =\frac{1}{L}\underset{z\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{A}_{0}}(z)$$ dónde $\frac{1}{L}$se introduce para asegurar que $\mu$tiene la dimensión correcta de la energía en la teoría de la frontera. Para su tercera pregunta, al calcular la temperatura de Hawking (T), la relación $\frac{\mu}{T}$nos dará una buena transición desde carga cero donde $\frac{\mu}{T}=0$al caso extremo donde $\frac{\mu}{T} \to \infty$para el fijo $z_{h}$. Puede encontrar su forma explícita y los parámetros de los que depende, con algunas buenas discusiones en [4]. Espero que esta respuesta sea útil.

[1] J. Kapusta y otros, Phys. Rev. D 28, 3093 (1983)
[2] H. Nastase, Introducción a la correspondencia AdS/CFT, CUP, 2015 [
3] M. Natsuume, Guía del usuario de la dualidad AdS/CFT, Springer, 2015
[4] D. Galante , M. Schvellinger, JHEP 1207 (2012) 096, https://arxiv.org/abs/1205.1548 (2012)