¿Por qué 1−11−11−…1−11−11−…1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \ldots}} no es real?

Todos sabemos que la fracción continua que contiene todos 1 s...

X = 1 + 1 1 + 1 1 + …

da la proporción áurea X = ϕ , que puede probarse fácilmente reescribiéndola como X = 1 + 1 X , resolviendo la ecuación cuadrática resultante y asumiendo que una fracción continua que solo contiene sumas dará un número positivo.

Ahora, un amigo me preguntó qué pasaría si reemplazáramos todas las sumas con restas:

X = 1 − 1 1 − 1 1 − …

Pensé "oh genial, sé cómo resolver esto...":

X = 1 − 1 X X 2 − X + 1 = 0

Y listo, me sale...

X ∈ { mi i π / 3 , mi − i π / 3 }

Ummm... ¿por qué una fracción continua que contiene solo 1 s, la resta y la división dan como resultado uno de dos números complejos (a diferencia de los reales)?

(Tengo la sensación de que esto es algo así como el ∑ i ( − 1 ) i cosa, que la fracción continua infinita no está bien definida a menos que podamos expresarla como el límite de una serie convergente, porque las fracciones truncadas 1 − 1 1 − 1 etc. no están bien definidos, pero pensé en pedir una respuesta bien fundamentada. Incluso si este es el caso, ¿tienen los dos números complejos algún "significado"?)

Aparte, ¿las fracciones continuas con resta en lugar de suma tienen un nombre? Siento que el término "fracción continua" se reserva la forma que usa la suma.
Definitivamente, una fracción continua infinita tiene sentido solo bajo límite. Parece sugerir que este procedimiento de limitación no converge para la entrada de números reales. Deja la posibilidad de que converja para alguna entrada de número complejo.
@MartinBüttner Tienes que tener cuidado a quiénes eliges como tus amigos :)
@imranfat Mirando esta página, no podría pedir mejores. ;)
"Por que es X complejo" en mi opinión, ni siquiera es una pregunta bien formulada. Un número es complejo si se introdujo en consecuencia. Si empiezo con “let a ∈ C tal que etc etc, luego haga algunas matemáticas y concluya que a = 3 π , sigue siendo un número complejo. Sin embargo, lo interesante es que está en el subconjunto real . De manera similar, si comenzó con algún cuaternión, entonces la pregunta "¿es complejo?" tendría sentido. Pero simplemente haciendo malabarismos con expresiones algebraicas, usando una técnica de solución para ecuaciones cuadráticas en ℂ y luego sorprenderse de que el resultado sea complejo, es un poco ridículo.
Sí, esto todavía se considera una fracción continua; en general pueden tener numeradores parciales complejos y denominadores parciales. Las fracciones continuas simples son aquellas cuyos numeradores parciales son todos 1 .
@leftaroundabout Por supuesto, la parte sorprendente no es que una ecuación cuadrática pueda tener raíces complejas, sino que una forma (por analogía con el caso de la proporción áurea aparentemente válida) de transformar una expresión (aparentemente) real da como resultado una ecuación cuadrática con soluciones complejas , al igual que te sorprendería obtener un resultado racional negativo al sumar números naturales . Mi pregunta no era "¿por qué obtengo raíces complejas para una cuadrática?" sino "¿por qué parece que puedo deducir que esta fracción es compleja?".
... con "complejo" que implica "complejo y no real".
Entonces conoce el método para encontrar el punto fijo de una secuencia, pero no verificó que haya un punto fijo real en primer lugar. Es como tirar tu caña de pescar a un lago al azar y esperar pescar un salmón sin hacer la tarea y verificar que hay un salmón en ese lago. Da la casualidad de que tienes una trucha en su lugar....
@UriGoren Bueno, claramente no estaba pensando en la solución en términos de un punto fijo de una secuencia. Simplemente conecté la ecuación a sí misma y la resolví. Para mí, tener una secuencia que convergería a la fracción continua era un pensamiento completamente separado que podría usarse como control de cordura. nunca consideré X = 1 − 1 / X significar X norte + 1 = 1 − 1 / X norte (así que la respuesta de Patrick ha sido bastante esclarecedora).
En la topología tridimensional y tetradimensional, las únicas fracciones continuas que aparecen son las que tienen resta. Suelen llamarse... fracciones continuas.
Esto es similar a lo que se llama una serie divergente .
No es real, porque no termina. Todas las cosas reales en este universo terminan eventualmente.
Mi primera publicación trató este tema: maa.tandfonline.com/doi/full/10.1080/07468342.2019.1534491

Respuestas (8)

Estás tratando de tomar un límite.

X norte + 1 = 1 − 1 X norte

Esta recurrencia en realidad nunca converge, desde ningún punto de partida real. En efecto,

X 2 = 1 − 1 X 1 ; X 3 = 1 − 1 1 − 1 / X 1 = 1 − X 1 X 1 − 1 = 1 1 − X 1 ; X 4 = X 1

Entonces la secuencia es periódica con período 3. Por lo tanto converge si y solo si es constante; pero la única forma en que podría ser constante es, como dices, si X 1 es uno de los dos números complejos que encontraste.

Por lo tanto, lo que tienes es básicamente una prueba por contradicción de que la secuencia no converge cuando la consideras sobre los reales.

Sin embargo, ha encontrado exactamente los dos valores para los que converge la iteración; ese es su significado.

Visto alternativamente, el mapa

z ↦ 1 − 1 z
es una cierta transformación del plano complejo, que tiene precisamente dos puntos fijos. Puede que le resulte un ejercicio interesante averiguar qué le hace ese mapa al plano complejo, y examinar en particular qué le hace a los puntos en la línea real.

Es una coincidencia que esta 'fracción continua' tenga una naturaleza periódica tan agradable. Por cierto, la 'fracción continua original' tiene un comportamiento de convergencia no trivial, como muestro en math.stackexchange.com/a/624037/21820 . (No tengo idea de quién rechazó mi respuesta, aunque es la otra la que es incorrecta).
¡Fantástica respuesta! Un punto: no es exactamente una transformación del plano complejo; sino más bien del plano complejo extendido C ∪ { ∞ } , también conocida como la esfera de Riemann, o alternativamente (más elemental pero menos elegante) de C ∖ { 0 , 1 } .
@MartinBüttner: la proporción áurea va a ϕ − 2 , no a 1. Desde C ∞ , se puede excluir cualquier órbita o unión de órbitas, y obtener otro dominio sobre el que actúa la transformación (total e invertible); y { 0 , 1 , ∞ } es una órbita completa (cíclica), entonces C ∖ { 0 , 1 } da un dominio adecuado.
@PeterLeFanuLumsdaine no importa, mezclé esto con otro mapa similar que estuve investigando ayer.
Pensando en esto un poco más... si F ( X ) = 1 − 1 / X , entonces, ¿no podríamos ver también la fracción continua en la pregunta como el límite de X norte + 1 = F ( F ( F ( X ) ) ) , por supuesto esto es solo una secuencia constante para cualquier X 0 , lo que significaría que podríamos mostrar que la fracción continua tiene cualquier valor que queramos. ¿Es esa otra forma de decir que su valor no está bien definido?
@MartinBüttner Sí: suponiendo que exista el valor, puede mostrar que es cualquier cosa usando su método. Por lo tanto (por contradicción) no puede existir.
Dar la serie a una computadora, con X 0 = 1 Entonces X 1 = 1 − 1 / X 0 = 0 y X 2 = 1 − 1 / X 1 = ?. Obtienes la misma dificultad cuando tratas de evaluar sumas parciales en la expresión de fracción continua.
@ user254665 Eso no significa que la serie nunca pueda converger; sólo que no lo hace desde este particular punto de partida.

Supongo que lo que estás preguntando es cómo la unidad imaginaria , es decir, la raíz cuadrada de − 1 esta involucrado. De hecho, proviene de la conocida identidad entre fracciones continuas y raíces cuadradas continuas, es decir

a − b a − b a − b a − b ⋯ = − a b − a b − a b − a ⋱
Entonces tienes en tu caso a = 1 y b = 1 tienes
1 − 1 1 − 1 1 − 1 1 − 1 ⋯ = − 1 1 − 1 1 − 1 1 − 1 1 − ⋱
La solución es la conocida solución de la ecuación.
X = a / ( b + X )
lo que trae al resultado que encontraste.

Odio escucharlo llamar la "raíz imaginaria". ¡Maldito seas Descartes! Buena respuesta de todos modos :)
¡No me digas! ¡Escribí "unidad imaginaria" y alguien lo editó!
No parece haber escrito "unidad": el historial de edición no tiene una sola aparición de esta palabra.
extraño... Nunca uso el término "raíz imaginaria", de todos modos ahora lo cambio :)
"cómo está involucrada la unidad imaginaria, es decir, la raíz cuadrada de −1−1" - FWIW, recuerde que, a través de la fórmula de forma cerrada para la solución de la ecuación cúbica general, se pueden encontrar números no reales, aunque el las raíces son reales.

cuando sustituyes a norte = a norte + 1 = X en

a norte + 1 = 1 − 1 a norte
se supone que la sucesión converge a un punto fijo.

Si esta suposición es cierta (como en el +caso), este método te ayudará a encontrar el punto fijo.

Sin embargo, como la sucesión no converge, la solución de

X = 1 − 1 X
no puede ser el punto fijo (ya que no lo hay).

Pero, ¿por qué converge para los números complejos? Esa fue su pregunta.
No es así.... Si la recursividad converge, entonces el método que mencionó el OP funcionará para encontrar el punto fijo, de lo contrario no tiene sentido

¿Has mirado las aproximaciones, es decir, qué sucede si dejas de llenar el " … "? Obtienes cosas que se ven así:

1 − 1 1 − 1 1 − 1 1 − 1 1 ⏟ 0
y eso significa que siempre hay alguna división por cero acechando en el fondo. Por lo tanto, ciertamente no podemos definir este tipo de fracción continua como el límite de sus aproximaciones finitas.

Sí, lo he hecho (y lo dije en el último párrafo de la pregunta). Pero la fracción continua infinita aún podría haber sido el límite de alguna otra secuencia de fracciones. (De hecho, es como muestra la respuesta de Patrick. Reemplace el 0 con una de las dos raíces complejas y obtendrá una secuencia constante y bien definida).
Esta no es una explicación válida. La fracción continúa indefinidamente, por lo que no puede evaluarse en este sentido. Sin embargo, todavía puede ser divergente. Es más exacto decir que tenemos una expresión de la forma 1 − 1 X , con X aún posiblemente no esté definido.
En lugar de simplemente dejar algo para terminar el "...", también podría establecerlo en algún valor arbitrario, por ejemplo 2. Entonces nunca "acecharía" un DBZ en lo más profundo.
@ThisIsNotAnId Para las fracciones continuas habituales , el valor se define como el límite de las fracciones continuas finitas obtenidas precisamente cortando en algún punto como lo hice yo. Pero estoy de acuerdo en que para que la expresión del OP tenga sentido, uno debe ajustar la definición de alguna manera. Ajustar definiciones bien conocidas puede conducir a resultados interesantes (como 1 + 2 + 3 + … = − 1 12 ), pero uno debe ser consciente de que ha estirado las cosas y estar preparado para las preguntas de por qué eso tiene sentido y cómo se relaciona con la definición "tradicional" pero inaplicable (nuevamente, cf. 1 + 2 + … = − 1 12 )
¿Es esta indefinición la causa de la raíz compleja?
Esto se entiende mejor si se considera ∞ estar allí: todo lo demás funciona, y obtendrá alternativamente 0 , 1 , ∞ !

Este método general realmente se usa. En el libro de 1981 Zetafunktionen und Quadratischer Körper de DB Zagier, utiliza

X = norte 0 − 1 norte 1 − 1 norte 2 − 1 norte 3 − …
con norte 1 , norte 2 , norte 3 , … ≥ 2 como su forma básica de representar irracionales cuadráticos. En la pregunta anterior, el OP tiene todos los norte j = 1 , que Zagier prohíbe. Zagier comienza con esto en la página 126. Es necesario que haga esto porque quiere definir formas cuadráticas binarias indefinidas "reducidas" (página 122) como A X 2 + B X y + C y 2 con B 2 − 4 A C > 0 pero no un cuadrado, y A > 0 , C > 0 , B > A + C . Aquí vamos, página 126: el número real w es la raíz más grande de A X 2 − B X + C = 0 , dónde ⟨ A , B , C ⟩ se reduce, si y sólo si la fracción continua (con los signos menos) para w es puramente periódica. Bien, así es exactamente como debería funcionar. Mientras tanto, al igual que con las fracciones continuas ordinarias, para las fracciones continuas finitas no queremos norte j = 1 , ya que eso solo reemplaza el entero norte j − 1 por norte j − 1 − 1. Por supuesto, para fracciones infinitas necesitamos norte j ≥ 2 para la convergencia.

Oh, las formas indefinidas reducidas de Gauss-Lagrange, los coeficientes enteros, tienen A C < 0 , B > | A + C | . Estos van junto con las fracciones continuas tradicionales. Teorema muy similar sobre fracciones continuas puramente periódicas.

Darse cuenta de norte ≥ 2 . En el ejemplo de este chico norte ≡ 1 .
@cactus314 Signo incorrecto. nno es ni función ni variable booleana.

Para cualquier fracción continua tenemos algunas desigualdades, que [ a ] < [ a , b , C ] < [ a , b ] o con grandes fracciones:

( ∗ ) a < a + 1 b + 1 C < a + 1 b

¿Cuáles deben ser los valores de a , b , C estar en tu caso. Intentemos ajustar un poco los signos:

X = 1 − 1 1 − 1 X = 1 + 1 − 1 + 1 X

Parece a = 1 , b = − 1 , C = X . ¿Tenemos eso? [ 1 ] < [ 1 , − 1 , X ] < [ 1 , X ] ? Nosotros necesitamos a , b , C > 0 . En tu caso tenemos la secuencia:

1 → 1 − 1 1 = 0 → 1 − 1 0 = ∞ → 1 + 1 ∞ = 1

Entonces 1 → 0 → ∞ → 1 es un ciclo de tamaño 3 .

Esto todavía me parece una escapatoria. Deberíamos buscar una explicación de por qué operaciones normales como X → X + 1 y X ↦ 1 X nos lleva fuera del reino de las fracciones q .

Un comentario al último párrafo (debajo de la regla): También límite norte → ∞ ∑ i = 0 norte 1 norte ! = mi ∉ q , aunque es solo la suma de números racionales. La conexión es el límite hasta el infinito, creo.
En su segundo bloque de código, ¿no debería la versión ajustada al signo X = 1 + 1 / ( − 1 + 1 / X ) ser negado? Significado no debería ser X = − ( 1 + 1 / ( − 1 + 1 / X ) ) o − X = 1 + 1 / ( − 1 + 1 / X ) ?

Tenga en cuenta que la respuesta, X = 1 − 1 1 − X .

( X − 1 ) ( 1 − X ) = 1

− X 2 + 2 X 2 − 1 = 1

− X 2 + 2 X 2 − 2 = 0

Ahora, toma la fórmula cuadrática. Usted obtiene X = 1 ± i

Veamos lo cuadrático y tomemos el resto como real dentro de la fórmula cuadrática.

Si tienes una fórmula en forma de a X 2 + b X + C = 0 , puedes tomar b 2 − 4 a C . Si ese valor es positivo, es real. Si no, es imaginario. Desde a = − 1 , b = 2 , C = − 2 , b 2 − 4 a C = 4 − ( 4 ⋅ ( − 1 ) ⋅ ( − 2 ) ) = − 4 , lo que significa que la raíz cuadrada de ese número será un número imaginario, como se muestra arriba.

Gracias, pero esto realmente no responde a mi pregunta. De uno de los comentarios sobre la pregunta: "Por supuesto, la parte sorprendente no es que una ecuación cuadrática pueda tener raíces complejas, sino que una forma (por analogía con el caso de la proporción áurea aparentemente válida) de transformar una expresión (aparentemente) real da como resultado una ecuación cuadrática con soluciones complejas, tal como te sorprendería si obtuvieras un resultado racional negativo al sumar números naturales. Mi pregunta no era "¿por qué estoy obteniendo raíces complejas para una ecuación cuadrática?" para poder deducir que esta fracción es compleja"."
¿Esto es reconocimiento o eso es crítica? no entiendo con mi mal ingles :P
Agradezco que esté tratando de ayudar, pero siento que su respuesta pierde el punto de mi pregunta. Ya sé que las ecuaciones cuadráticas pueden dar resultados complejos (y cuando eso sucede), pero la pregunta era por qué la fracción continua en la pregunta se evalúa como un valor complejo, aunque parece que no debería ser así. Sin embargo, Patrick Stevens ya ha respondido esa parte a mi entera satisfacción. :)

lo que has hecho puede verse como una prueba de divergencia, asumimos que la fracción continua dada converge a un valor real finito X , así que una vez que pruebes que X es un número complejo con I metro ( X ) ≠ 0 obtienes la contradicción.

¿Por qué 1−11−11−…1−11−11−…1 - \frac{1}{1 - \frac{1}{1 - \ldots}} no es real?
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