¿Por qué no nombramos −a+bi−a+bi-a+bi en relación con a+bia+bia+bi?

Dado un número complejo a + b i , tiene un conjugado complejo a − b i . El producto de este número complejo por su complejo conjugado da ( a + b i ) ( a − b i ) = a 2 + b 2 .

Uno podría imaginar cambiar el signo de la parte real en lugar de la parte imaginaria para obtener una especie de "anticonjugado", lo que resulta en un producto similar de ( a + b i ) ( − a + b i ) = − ( a 2 + b 2 ) .

Claramente este "anticonjugado" es el negativo del conjugado. Sospecho que nunca antes había visto este concepto debido a que (1) no encuentra útil este anticonjugado o (2) se considera el negativo del complejo conjugado sin darle un nombre especial.

¿Hay alguna razón diferente por la que parece que no usamos o consideramos "anticonjugados"? ¿O lo anterior explica esta percepción?

Sí, como dices, tu "anti-conjugado" es solo menos el conjugado, no creo que haya necesidad de introducir un concepto separado para eso.
Gracias por proporcionar los antecedentes y la motivación de su pregunta y mostrar una posible respuesta.

Respuestas (2)

Los conjugados complejos son importantes porque i y − i son fundamentalmente indistinguibles por definición; i se define como un número que satisface la ecuación i 2 = − 1 , pero por supuesto − i debe satisfacer la misma ecuación. Entonces, "cualquier hecho" que se pueda afirmar sobre los números complejos debe seguir siendo verdadero si intercambiamos todas las ocurrencias de i con − i (aunque hay que tener cuidado con las ocurrencias "ocultas"). La conjugación compleja es, por lo tanto, un mapeo de números complejos que conserva muchas propiedades algebraicas.

En contraste, la anticonjugación compleja como se define en su pregunta no conserva ninguna propiedad útil, porque 1 y − 1 no son fundamentalmente indistinguibles; − 1 no es un sucesor del número 0 , no es una identidad multiplicativa tal que 1 X ≡ X , ni satisface ninguna otra definición razonable del número 1 .

Más específicamente y sucintamente, la conjugación compleja es el [sic] automorfismo de campo no trivial de los números complejos. (+1)
Esto en mi opinión, es la respuesta correcta; la otra respuesta falla por completo en explicar por qué el conjugado es importante y el anticonjugado no lo es.
@MJD Esta aquí es una muy buena respuesta, que ya había hecho +1. Dicho esto, no creo que mi " otra respuesta no explique por completo ", al menos no lo que me propuse explicar. Esto también tiene una perspectiva histórica, y la conjugación compleja surgió por primera vez con el propósito de resolver ecuaciones cúbicas con coeficientes reales mucho antes de que existiera el álgebra abstracta. Para cuando los automorfismos de C llegó a estudiarse, se demostró que la conjugación era (la única), pero no se trajo por eso.
@dxiv Los conjugados complejos aparecen en pares como raíces porque si uno es la raíz de un polinomio real, el otro también debe serlo, por lo que es más o menos la misma razón, simplemente descrita en un nivel diferente de abstracción.
@ kaya3 Eso es correcto, por supuesto. Sin embargo, la pregunta aquí no era por qué los conjugados se usan y son útiles, sino por qué los " anti-conjugados " no lo son. La razón histórica es que " anti-conjugados " habría sido redundante, porque solo se necesita una transformación de este tipo para describir todas las manipulaciones complejas, y ese lugar lo ocuparon los conjugados desde el principio. La razón original por la que se preferían los conjugados era simplemente la conveniencia relacionada con la solución del casus irreducibilis de las cúbicas en el siglo XVI. t h siglo. Más tarde se encontraron razones más profundas, pero ese no era mi punto.

Existe una tradición en matemáticas para evitar (o, al menos, minimizar) las redundancias.

En este caso, la conjugación compleja a + i b ¯ = a − i b ha sido conocido y utilizado durante mucho tiempo. Tiene muchas aplicaciones, desde ecuaciones polinómicas hasta cálculo, álgebra abstracta, geometría, etc.

En cambio, la propuesta " anti-conjugada ", digamos que la escribimos como a + i b ~ = − a + i b , sería un concepto nuevo, sin ninguna ventaja obvia, conceptual o práctica. Además, se puede expresar fácilmente en términos del conjugado como a + i b ~ = − a + i b ¯ = i ⋅ i ⋅ ( a + i b ) ¯ ¯ . Por lo tanto, redundante.

[ EDITAR ] Resumen lado a lado.

conjugado z ¯ anti-conjugado z ~ simetría sobre el eje real sobre el eje imaginario involución Sí: z ¯ ¯ = z Sí: z ~ ~ = z distribuir sobre + Sí: z 1 + z 2 ¯ = z 1 ¯ + z 2 ¯ Sí: z 1 + z 2 ~ = z 1 ~ + z 2 ¯ distribuir sobre  × Sí: z 1 ⋅ z 2 ¯ = z 1 ¯ ⋅ z 2 ¯ No: z 1 ⋅ z 2 ~ ≠ z 1 ~ ⋅ z 2 ~

Siento que es bastante exagerado llamar a la última expresión "expresada fácilmente" :)
@lisyarus Concedido ;-) aunque podría acortarse a z ¯ = F ( z ) , z ~ = F ( i F ( i z ) ) .
Si estás multiplicando por i , también puedes multiplicar por − 1 (que es solo i 2 de todos modos), sin llamar F dos veces.
@JG Correcto, una simetría central se puede escribir como una composición de dos simetrías axiales. Solo pensé en enumerarlo para completarlo.
@lisyarus, 'fácilmente expresado' es subjetivo. La expresión a la que te refieres me pareció sencilla a primera vista.
@Joe Seguramente es subjetivo, es por eso que mi redacción es "Siento eso" y no algo más fuerte. Bien por ti, pero para mí la conjugación repetida entretejida con multiplicaciones parece enrevesada.
Ojalá los votantes negativos hubieran dejado un comentario por qué.
@lisyarus: ¡Parece que no es fácil porque está mal! ¡Jajaja! c(i⋅c(i⋅(a+b·i))) = c(i·c(a·i−b)) = c(i·(−a·i−b)) = c(a− b·i) = a+b·i y volvemos al principio!! De hecho, no tenemos que hacer ningún cálculo para saber que está mal, porque ninguna secuencia que comprenda rotaciones y un número par de reflejos puede ser equivalente a un solo reflejo.
@ usuario21820 ¡Ah, de hecho! Un buen argumento geométrico, por cierto.
¿Por qué no nombramos −a+bi−a+bi-a+bi en relación con a+bia+bia+bi?
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