¿Podríamos deshacernos de las derivadas de campos explícitos en las teorías cuánticas de campos?

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¿Podríamos deshacernos de las derivadas de campos explícitos en las teorías cuánticas de campos?

acción
Física
localidad
causalidad
teoría cuántica de campos

Trimok

Por ejemplo, si elegimos el siguiente campo escalar Lagrangiano, que es (espero) invariante de Lorentz, donde $l$ es una escala de longitud, y con una $(-1,1,1,1)$ métrico:

L (X) \sim {yo}^{- 6} \int d^{4} y {mi}^{\frac{- y^{2}}{{yo}^{2}}} (Φ (X + y) Φ (X - y) - Φ (X) Φ (X))

$\mathfrak{L}(x) \sim l^{-6} \int d^4y \space e^{\frac{- y^2}{ l^2}} (\Phi(x + y)\Phi(x - y) - \Phi(x) \Phi(x))$

No hay derivados explícitos de campos en esta expresión.

Por supuesto, si desarrollamos esta expresión en órdenes de $l$ , encontraremos, por ejemplo, en el primer orden (en $l^0$ ), término proporcional a:

\partial_{i} Φ (X) \partial^{i} Φ (X) .

$\partial_i \Phi(x) \partial^i \Phi(x).$

Y, por supuesto, encontraremos derivadas de orden superior de campos con desarrollo de orden superior en $l$ .

Pero la expresión inicial no implica la derivada explícita de campos.

Ron Maimón

Esto está bien, y se hace explícitamente en el Rev. Mod de 1974 de Wilson. física artículo sobre el grupo de renormalización (en la sección sobre el grupo de renormalización exacto). Esto generalmente se hace apaciguando en el espacio k, no en el espacio x, pero lo que está haciendo es equivalente. Esta es una forma de regularización, y generalmente es la

l \to \infty

$l\rightarrow\infty$ límite que le interesa.

Trimok

@RonMaimon: Gracias por la referencia, sí, se piensa como una especie de regularización, así que, en mi opinión,

l

$l$ es una longitud muy pequeña, como la longitud de Planck o algo así, por lo que no se puede

l \to \infty

$l\rightarrow\infty$ . El otro problema es que este tipo de teoría parece no ser causal (ver el comentario de Arnold Neumaier)

Ron Maimón

"No causal" no es particularmente molesto, quiere decir que hay interacciones no locales en el tiempo, pero la causalidad es un concepto macroscópico, y la falla del ordenamiento temporal microscópico no es algo que deba preocuparte, ya que tu teoría no es física con un l finito Definitivamente deberías tomar el límite

l \to \infty

$l\rightarrow\infty$ . Si desea hacer que el espacio-tiempo sea discreto de alguna manera, la regularización adecuada es la teoría de cuerdas.

Respuestas (2)

¿Podríamos deshacernos de las derivadas de campos explícitos en las teorías cuánticas de campos?

Esto está bien, y se hace explícitamente en el Rev. Mod de 1974 de Wilson. física artículo sobre el grupo de renormalización (en la sección sobre el grupo de renormalización exacto). Esto generalmente se hace apaciguando en el espacio k, no en el espacio x, pero lo que está haciendo es equivalente. Esta es una forma de regularización, y generalmente es la $l\rightarrow\infty$ límite que le interesa.
@RonMaimon: Gracias por la referencia, sí, se piensa como una especie de regularización, así que, en mi opinión, $l$ es una longitud muy pequeña, como la longitud de Planck o algo así, por lo que no se puede $l\rightarrow\infty$ . El otro problema es que este tipo de teoría parece no ser causal (ver el comentario de Arnold Neumaier)
"No causal" no es particularmente molesto, quiere decir que hay interacciones no locales en el tiempo, pero la causalidad es un concepto macroscópico, y la falla del ordenamiento temporal microscópico no es algo que deba preocuparte, ya que tu teoría no es física con un l finito Definitivamente deberías tomar el límite $l\rightarrow\infty$ . Si desea hacer que el espacio-tiempo sea discreto de alguna manera, la regularización adecuada es la teoría de cuerdas.

Arnold Neumaier · Answer 1

Por supuesto, se pueden formular acciones invariantes de Lorentz libres de derivadas. Pero estos típicamente no serán causales. Esto significa que los campos a una distancia similar al espacio normalmente no conmutarán, como se requiere para una buena interpretación de los campos en un tiempo fijo. Por lo tanto, los campos carecen de uno de los requisitos más importantes de una QFT relativista, necesaria, por ejemplo, para obtener buenas propiedades de separación de grupos.

Además, su integral ni siquiera está clásicamente bien definida. En efecto, $y^2$ es ilimitado por debajo en el espacio de Minkowski, por lo que la exponencial explota. Tendrías que elegir una función de mejor comportamiento de $y^2$ como densidad.

Para el caso euclidiano (métrica definida, invariancia O(4) en lugar de invariancia de Lorentz), su acción es sensata para $l>0$ . Sin embargo, es cuestionable si para $l>0$ hay una continuación analítica del espacio de Minkowski, ya que esto ya falla en el nivel clásico.

Gracias: Para el problema ilimitado, estaba pensando que una rotación de Wick lo resuelve, pero supongo que me equivoco... ¿Podría dar más detalles sobre la característica no causal de estas teorías (quiero decir: ¿por qué no son causales? )
Esto se discute extensamente en el capítulo sobre la descomposición de grupos en el volumen 1 de QFT de Weinberg.
Rotación de la mecha: tal vez, pero su afirmación se refería al espacio de Minkowski, no al espacio euclidiano. Quizás deberías ser más preciso en lo que escribes. La rotación de la mecha hacia atrás es el verdadero problema; aquí incluso la acción clásica se vuelve mal definida.
DE ACUERDO. Gracias por la referencia y tu último comentario.

Vladímir Kalitvianski · Answer 2

La energía $E$ de un cuanto de campo contiene un momento $\vec{p}$ para todos los cuantos conocidos

{mi}^{2} = {\vec{pag}}^{2} + {metro}^{2}

$E^2=\vec{p}^2+m^2$ y el operador de cantidad de movimiento es una derivada espacial

- i \frac{\partial}{\partial \vec{x}}

$-i\frac{\partial}{\partial\vec{x}}$ (Uso unidades donde

c = ℏ = 1)

$c=\hbar=1)$ . Es algo importante e inevitable, por lo que la respuesta es "no", cualquier QFT realista debe contener las derivadas del campo.

Bueno, hay una sutileza, y la sutileza está en la palabra "explícito". Por supuesto, hay derivadas de campo, y de hecho, en este modelo bebé, derivadas de orden superior, pero en cierto sentido, hay una especie de resumen, y las derivadas de campo no aparecen explícitamente en la fórmula, pero por supuesto son aquí implícitamente.
@Trimok: no hay ningún derivado en su modelo, estrictamente hablando. Para una función normal $f(x)$ su cambio de argumento se puede representar simbólicamente como $f(x+y) = exp(y\nabla)f(x)$ de hecho, pero una diferencia finita es una diferencia finita.

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