¿Podemos siempre expresar el hamiltoniano de campo EM como un par (posiblemente dependiente del tiempo) de operadores de aniquilación y creación?

El hamiltoniano de campo EM es, en principio, un funcional (con un orden de operadores elegido) que se define en campos de operadores A ^ ( X ) y ∂ m A ^ . Si realiza los cálculos y utiliza las definiciones de B ^ y mi ^ , llegarás a:

H ^ = ∫ d 3 X ϵ 0 2 ( mi → ^ 2 + C 2 B → ^ 2 )
Tomaré esto como la definición del hamiltoniano en cálculos futuros. Por el campo libre, el Ansatz A → ^ = mi → ( a k → ^ mi i ( k → X → − ω k → t ) + a k → ^ † mi − i ( k → X → − ω k → t ) ) satisface esta ecuación de onda. Usando la linealidad, uno puede superponer todas las soluciones, conectarlas a la definición del hamiltoniano y llegar a:
H ^ = ∑ k → , λ → a ^ k → , λ † a ^ k → , λ ω k → ℏ

Ahora mi pregunta es: ¿Puedo usar también este hamiltoniano en una teoría interactiva? (Por ejemplo, un campo EM acoplado a un átomo). Lo pregunto porque las ecuaciones de onda que cambian los operadores de Heisenberg. Superponer los operadores de creación y aniquilación, como se muestra arriba, ya no es una solución para la ecuación de campo, por lo que no puedo expresar mi → y B → ya no, solo usando a ^ y a ^ † ? ¿Cómo puedo seguir motivando?

H ^ = ∑ k → , λ → a ^ k → , λ † a ^ k → , λ ω k → ℏ
ser el hamiltoniano correcto?

EDITAR: Para mí está claro que en el caso de Interacción, habrá un Término de interacción adicional, por ejemplo, algo así como X → ^ mi → ^ mi ℏ . Estoy claro de ese hecho. Sin embargo, quiero saber si uno siempre puede expandir cantidades como mi → ^ en términos de operadores de creación y aniquilación. Por ejemplo: el hamiltoniano completo para un electrón que interactúa con EM-Field sería (suponiendo una aproximación de dipolo):

pag → ^ 1 2 metro + V ( X → ^ ) + X → ^ mi → ^ ( X → A t o metro ) mi ℏ + ∫ d 3 X ϵ 0 2 ( mi → ^ 2 + C 2 B → ^ 2 )

Quiero saber si esto se puede expresar en general usando operadores de creación y aniquilación en lugar de mi → ^ y B → ^ , por ejemplo como:

pag → ^ 1 2 metro + V ( X → ^ ) + X → ^ mi → ^ ( X → A t o metro ) mi ℏ + ∑ k → , λ → a ^ k → , λ † a ^ k → , λ ω k → ℏ

FYI: edité mi respuesta para incluir una discusión de su pregunta editada. No estoy seguro de que lo hayas visto.

Respuestas (2)

En un espacio de Fock, cada operador puede expresarse en términos de operadores de creación y aniquilación, aunque generalmente aparecen términos no cuadráticos. Este es el tema de la segunda cuantización y puede hacerse matemáticamente riguroso.

Sin embargo, en una teoría interactiva, el espacio de Hilbert subyacente no es un espacio de Fock (teorema de Haag: la imagen de interacción no existe), por lo tanto, una descripción en términos de operadores de creación y aniquilación (que actúan solo en espacios de Fock) ya no tiene sentido. . El intento de hacerlo conduce a los conocidos infinitos. La renormalización destruye el espacio de Fock y con él la expresión del hamiltoniano y otros generadores del grupo de Poincaré en términos de operadores de creación y aniquilación.

Nota: siempre se puede construir la imagen de interacción en la mecánica cuántica con un número finito de grados de libertad clásicos. Pero en la teoría relativista de campos cuánticos, la correspondiente transformación unitaria potencial no existe porque diverge violentamente cuando se elimina el corte de una versión regularizada y, a diferencia de los elementos de la matriz S, la renormalización no salva la situación. Esto se llama el teorema de Haag . En la tesis doctoral de Lutz Klaczynski (2016) se brinda un tratamiento moderno integral . Ver también [esta discusión de PhysicsOverflow] ( https://www.physicsoverflow.org/22400 ).

¿Por qué no existe la imagen de interacción? Puedo escribir la transformación unitaria que transforma los operadores de imágenes de Schroedinger en operadores de imágenes de interacción.
@Quantumwhisp: agregué una explicación.
¿Eso significa que tener un tipo de corte salva el día?
@Quantumwhisp: Sí, con un corte, existe la imagen de interacción. ¡Pero la simetría de Poincaré se pierde en cambio! Por lo tanto, la teoría sin corte no es invariante de Lorentz. Para obtener esto (que es la base de toda teoría), es necesario eliminar el límite.

OP pregunta si una expresión de la forma

H = ∑ k → , λ → a k → , λ † a k → , λ ω k →
se mantiene en un QFT interactivo. La respuesta es, en general,

No.

Por un lado, tal hamiltoniano, en general, no sería independiente del tiempo, en la medida en que

d d t a k → , λ ( t ) ≠ 0

Por ejemplo, para un campo de Klein-Gordon,

d d t a k → ( t ) ∼ ∫ d X   ( ∂ 2 + metro 2 ) ϕ
mientras que para un campo de Dirac,
d d t a k → , λ ( t ) ∼ ∫ d X   ( ⧸ ∂ + i metro ) ψ
ninguno de los cuales desaparece en las teorías que interactúan. Estas fórmulas son muy importantes en la teoría de la dispersión y se pueden encontrar, por ejemplo, en el libro de Srednicki sobre QFT (§§ 5, 41).

Esto prueba que, en general, el hamiltoniano interactivo no puede expresarse como una función cuadrática de los operadores de creación y aniquilación. El primero es independiente del tiempo, mientras que el segundo no lo es.

Vale la pena mencionar, sin embargo, que si consideras todos los objetos como operadores de imágenes que interactúan (en lugar de Heisenberg), entonces una expansión de H en términos de operadores de creación/aniquilación es válido, pero tiene términos de orden superior en estos objetos (porque las teorías no libres incluyen fenómenos de creación y aniquilación, donde varias partículas se dispersan en otras partículas). Esta expansión es válida, de hecho, para cualquier operador, en cualquier teoría. La prueba de esta afirmación se puede encontrar en el libro de Weinberg sobre QFT, §4.2.

Hacia la edición

OP pregunta si siempre se puede expandir cualquier campo en términos de operadores de creación y aniquilación. Si el campo está libre o es un campo interactivo en la imagen de interacción, la respuesta es obviamente sí . Si el campo está interactuando y en la imagen de Heisenberg, la respuesta sigue siendo sí , como discuto en esta publicación de PSE . Pero hay una diferencia muy importante: en este último caso, estos operadores de creación y aniquilación noser independientes del tiempo, en cuyo caso su interpretación como operadores que crean y destruyen partículas pierde su significado; tal interpretación ya no es posible/consistente. Esto es coherente con el hecho de que en las teorías de interacción no existe una noción clara de partículas a menos que consideremos campos asintóticos (es decir, libres).

En todo caso, es muy importante remarcar que la expresión en el OP

pag → 2 2 metro + V ( X → ) + X → ⋅ mi → ( X → ) mi + 1 2 ∫ ( mi → 2 + B → 2 ) d 3 X →
es una aproximación efectiva y de baja energía a QED, que solo es válida en el régimen no relativista. Como tal, no contempla la posibilidad de tener fotones dinámicos, no hay reacción inversa del átomo a los fotones. Los primeros sienten el efecto de los segundos, pero no al revés: los fotones permanecen ajenos a la presencia del electrón y, por lo tanto, son esencialmente libres (ya que el campo de calibre para QED no es abeliano). En este sentido, la expansión de mi → , B → en términos de operadores de creación y aniquilación está perfectamente justificado : estos operadores son libres a todos los efectos prácticos.

¿Significa esto que cualquier intento de expresar, por ejemplo, el vector potencial en términos de operadores de creación y aniquilación es una aproximación?
@Quantumwhisp en la imagen de Heisenberg, sí. En la imagen interactiva, los operadores son libres, por lo que en ese caso pueden expresarse en términos de a , a † . En ese caso, la parte libre del hamiltoniano H 0 se puede escribir como en el OP, pero eso solo es válido para H 0 , y no el hamiltoniano completo H = H 0 + V .
Creo que tengo esa parte. Porque en la imagen de Interacción, la evolución temporal de los Operadores es la misma que en la imagen de Heisenberg de la teoría libre. PERO: Si estoy en la imagen de interacción y expreso mis campos con operadores de creación y aniquilación, ¿no puedo entonces transformar todo en, por ejemplo, la imagen de Schroedinger, y aún tener una expresión que contenga la "versión de Schroedinger" de la creación y la destrucción? ¿operadores de aniquilación?
@Quantumwhisp sí, y el H 0 parte del hamiltoniano será cuadrática. Pero el hamiltoniano completo H contendrá términos cúbicos y cuarticos (y quizás superiores), de la forma a † a † a a , responsable de 2 → 2 dispersión. El hamiltoniano completo no será cuadrático, como escribes en el OP.
¿Se obtendría la posición de descomposición en "operadores de creación y aniquilación", como los describe en la pregunta vinculada, transformándolos de la imagen de interacción a la imagen de Heisenberg? (Creo que sí, solo quiero comprobar si lo entendí bien).
@Quantumwhisp En la imagen de Interacción que tienes ϕ I ∼ a I mi i k X + h . C . . En el cuadro de Heisenberg tienes ϕ H = tu ( t ) ϕ I tu † ( t ) ∼ a H ( t ) mi i k X + h . C . . Por lo tanto, a H ( t ) = tu ( t ) a I tu † ( t ) . ¿Es esto lo que quieres decir?
si, eso es lo que quiero decir
¿Podemos siempre expresar el hamiltoniano de campo EM como un par (posiblemente dependiente del tiempo) de operadores de aniquilación y creación?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v