Problema para entender el signo de la integral de volumen en el espacio de Minkowski

La idea clave es que la integral que anotó es un tensor invariante de Lorentz, por lo que lo que se evalúe también debe ser invariante de Lorentz.

Para ilustrar esto, seamos un poco más generales y consideremos cualquier integral de la forma

$$\begin{align} I^{\mu\nu}[f] = \int d^4k\, f(k^2)k^\mu k^\nu \end{align}$$ para cualquier función admisible $f$. Luego observe que para cualquier transformación de Lorentz $\Lambda = (\Lambda^\mu_{\phantom\mu\nu})$tenemos $$\begin{align} \Lambda^\alpha_{\phantom\alpha\mu}\Lambda^\beta_{\phantom\beta\nu}\,I^{\mu\nu}[f] &= \int d^4k\, f(k^2)(\Lambda^\alpha_{\phantom\alpha\mu}k^\mu)( \Lambda^\beta_{\phantom\beta\nu}k^\nu)\\ &= \int d^4 u f(u^2) u^\alpha u^\beta \\ &= I^{\alpha\beta}[f] \end{align}$$ donde en la segunda igualdad hicimos el cambio de variable $u^\alpha = \Lambda^\alpha_{\phantom\alpha\mu}k^\mu$, y notamos que el término $f(k^2)$se convierte $f(u^2)$porque $k^2$es invariante de Lorentz, y la medida $d^4 k$es invariante de Lorentz.

Apéndice. (Siguiendo los comentarios sobre la respuesta v1)

El argumento anterior demuestra que siempre que$f$es tal que$I^{\mu\nu}[f]$está bien definida, la integral es un dos-tensor invariante de Lorentz y, por lo tanto, tiene la forma$g^{\mu\nu}B[f]$para algún funcional escalar$B$como escribiste

Sin embargo, como está escrito, la integral que anotaste es divergente porque el integrando es singular (tiene polos en$k^2 = m_1^2$y$k^2 = m_2^2$), y por conteo de potencia que muestra que el integrando se escala linealmente con$k$para grande$k$por lo que es UV divergente. Esta falta de definición conduce a todo tipo de aparentes "paradojas". Por ejemplo, como señaló el usuario 10001, si tuviéramos que configurar$m_1 = m_2$, entonces el integrando es manifiestamente positivo a menos que$k^\mu = 0$, entonces, ¿cómo podría$I^{00}$y$I^{ii}$tienen diferentes signos?

La resolución es notar que esta integral proviene de QFT donde se usa el llamado$i\epsilon$prescripción (por buenas razones de física) que elimina los polos del integrando alejándolos del eje real. Además, se corrige la divergencia UV regularizando la integral (usando, por ejemplo, regularización dimensional). El objeto que se necesita calcular es

$$\begin{align} I^{\mu\nu}(d) = \lim_{\epsilon\to 0}\int_{\mathbb R^4} d^dk \frac{k^\mu k^\nu}{(k^2 - m_1^2 + i\epsilon)(k^2-m_2^2+i\epsilon)}, \tag{$\star$} \end{align}$$ para $d\neq 4$y luego analíticamente continuar esto a una función $I^{\mu\nu}(z)$en el plano complejo (menos algunos puntos singulares aislados) que permite parametrizar la divergencia cerca $d=4$al enchufar $z = 4-\epsilon$.

Tenga en cuenta que$(\star)$no está plagado de ninguna de las aparentes paradojas que nos preocupaban en los comentarios.