¿Podemos construir un sistema axiomático de leyes físicas?

Si construimos un sistema axiomático de leyes físicas que son independientes entre sí como en los axiomas en matemáticas, ¿cuáles deberían ser? ¿Puede existir un sistema tan finito de leyes físicas que pueda explicar todos los fenómenos físicos? ¿O es imposible tener tal sistema axiomático finito en las leyes físicas?

El sistema de axiomas fundamentales estándar investigados en matemáticas no es finito en un sentido práctico. Incluso la teoría de conjuntos KP , que es más del lado computable (más física, por así decirlo), implica esquemas axiomáticos , por ejemplo, reemplazo .
Las matemáticas son una creación de la mente humana. En una teoría física tratamos de recrear algo usando nuestro propio lenguaje matemático, es el único lenguaje que conocemos. No significa que las matemáticas sean la base de la naturaleza. La física no necesita ser matemáticamente rigurosa.
¿Podrías señalar tu opinión con claridad? @NickKidman
La cuestión de la "axiomatización de la física" también se planteó como el sexto problema de Hilbert, véase, por ejemplo, en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_sixth_problem
@KaziarafatAhmed: ¿Opinión sobre qué? OP escribió "un sistema tan finito", al comparar los axiomas físicos que busca con los axomas matemáticos básicos. Y señalé que estos, de hecho, no son particularmente finitos.
Sí, se llama física matemática. por ejemplo, wightman, y así sucesivamente.

Respuestas (3)

Sí, es posible. Como escribió elocuentemente J. Bell, la Mecánica Cuántica, junto con un QED de corte finito, explica toda la química y casi todo lo relacionado con la Física. Fue axiomatizado por Weyl y Dirac en 1930.

Solo hay seis axiomas, que ciertamente es un número finito. Cinco sería aún mejor... ya que la mayoría de los físicos ya no creen en la verdad literal del sexto axioma.

Hay problemas notorios con esta axiomatización, pero ciertamente pueden solucionarse, aunque los físicos no están de acuerdo en cómo solucionarlos. El problema fue analizado con mayor lógica por Wigner y, posteriormente, por JS Bell, en su "Contra la medida", he colgado una copia libre de derechos de autor en http://www.chicuadro.es/BellAgainstMeasurement.pdf . Es decir, los primeros tres axiomas se aplican a todos los sistemas físicos, los segundos tres axiomas se aplican solo a las mediciones, pero seguramente las mediciones se llevan a cabo mediante aparatos de medición que son físicos... desafortunadamente las respuestas dadas por los primeros tres axiomas se aplican a los la interacción de un sistema microscópico con un aparato de medición son diferentes de los resultados obtenidos al aplicar los otros tres axiomas a la misma configuración física. No contradictorios, pero tan diferentes que no ha habido acuerdo sobre cómo compararlos.

La mayoría de los físicos ahora sienten que los axiomas de medición son solo aproximaciones y deberían ser derivables de los primeros tres axiomas como aproximaciones. HS Green, bajo (creo) la influencia de Schroedinger en Dublín, publicó un artículo extremadamente importante analizando la física del proceso de medición como una transición de fase, y también ha habido trabajos más recientes. Vea mi propio http://arxiv.org/abs/quant-ph/0507017 , por ejemplo.

La única dificultad que queda es definir el concepto de "probabilidad" tal como aparece en estos axiomas, o formular algunos axiomas más para conectarlo con los otros axiomas. Para el caso cuántico esto se hizo en el artículo mencionado, y se puede hacer algo similar en el Caso Clásico.

Esta es la respuesta de un experimentador:

Sí creo que se puede encontrar un modelo axiomático, nótese "modelo", de la naturaleza, pero como experimentador desconfío de las afirmaciones de que "ahora hemos terminado con la física y solo se deben limpiar los detalles", que era la afirmación anterior. La mecánica cuántica sacudió la ciencia a principios del siglo XX.

Uno debe estar abierto a la posibilidad de que, a medida que profundizamos más y más en los experimentos con nuevas tecnologías, y entendamos más y más el cosmos, los axiomas podrían tener que cambiarse. De lo contrario, la física se fosilizará.

No uno completo.

Kurt Gödel demostró que esto no era posible demostrando su "teorema de incompletitud". Resulta que en cualquier sistema axiomático (ya sea que estos axiomas tengan que ver o no con leyes físicas) debemos seleccionar la consistencia o la integridad, pero no ambas.

Básicamente, el "teorema de incompletitud" dice que cualquier "sistema axiomático computable" tendrá las siguientes propiedades (como uno que contenga leyes físicas):

  1. Si el sistema es completo, no puede ser consistente.
  2. La consistencia de los axiomas no se puede probar dentro del sistema.

Como corolario de 1, cualquier sistema axiomático que sea consistente no puede ser completo (es de esperar que el sistema que usted describe sea consistente). Entonces, si desea que sus leyes físicas sean internamente consistentes, debe aceptar que habrá leyes físicas verdaderas (observables) que no se pueden probar.

Con respecto a los sistemas infinitos, hay dos tipos, contables e incontables. El teorema de incompletitud también ha demostrado ser cierto para conjuntos infinitos contables. En el caso de infinitos sistemas axiomáticos que tratan con leyes físicas, serían contables ya que cada ley axiomática podría corresponder al conjunto de números naturales. Incluso aquí se mantienen las conclusiones de Gödel; o este sistema sería consistente pero incompleto, o completo pero inconsistente.

Aparentemente, no podemos eludir el hecho de que hay verdades indemostrables. Gödel proporcionó un ejemplo simple.

Sea S el enunciado "Este enunciado es indemostrable".

Si S es verdadero, no podemos probarlo porque es indemostrable. Sin embargo, si podemos probar que S es verdadero, la declaración se contradice a sí misma, por lo que es inconsistente.

Observe en la respuesta anterior la cita elocuente de J. Bell: "La mecánica cuántica, junto con un QED de corte finito, explica toda la química y CASI TODO en física". Desafortunadamente para Bell, Gödel ha demostrado que mientras la Mecánica Cuántica busque ser internamente consistente, solo será "CASI TODO" y no realmente "TODO". Si la mecánica cuántica realmente logra la capacidad de explicar todo, Gödel nos muestra que tenemos buenas razones para buscar sus contradicciones (inconsistencias)

con el debido respeto a Gódel (lo conozco por la teoría de conjuntos, "el conjunto de todos los conjuntos está abierto"), "esta afirmación es indemostrable" se remonta miles de años atrás a la paradoja cretense: "Un cretense dijo que todos los cretenses son mentirosos". . en.wikipedia.org/wiki/Epimenides_paradox . Las paradojas en la actualidad se resuelven mediante metaniveles, y no creo que el teorema de Gödel pueda resolverse mediante un metanivel.
Podría ser. El apóstol Pablo aparentemente también estaba al tanto de esa cita [Tito 1:12]
También debo agregar que nadie ha probado que el teorema de incompletitud no pueda resolverse mediante un nivel meta. No obstante, el mero hecho de que aparezca de esta manera sugiere que el teorema en sí mismo puede no ser una paradoja sino una verdadera propiedad de los sistemas axiomáticos.
@Joseph f.johnson: nadie argumentó que las matemáticas eran inconsistentes. es consistente Sin embargo, no está completo según Gödel. El teorema de Gödel tiene 2 posibles tipos de sistemas; consistentes pero incompletos, o completos pero inconsistentes. Dado que las Matemáticas continúan agregando nuevos axiomas todo el tiempo, está claramente incompleta y, por lo tanto, también puede ser consistente. Parece que no entiendes el teorema de Gödel.
Ok, con respecto al teorema de Gödel y su relación con QM, la pregunta replanteada es qué constituye un sistema computable. Brevemente, un sistema computable se puede representar como un autómata finito (operadores y operandos). QM se puede representar como un autómata finito y también lo es un sistema computable. (Para hacer cálculos de QM, es necesario emplear la gramática y la sintaxis, los operadores y los operandos claramente. Por lo tanto, QM es axiomático y computable, por lo que se aplica el teorema de incompletitud.
@Joseph f.johnson, ¿leyó la pregunta? Preguntó si se podía construir un sistema axiomático que pudiera "explicar todo tipo de fenómeno". La respuesta proporcionada solo negaba que dicho sistema fuera completo.
La prueba de consistencia de Gentzen trata solo con un subconjunto simplificado de matemáticas, específicamente la parte de Matemáticas que no se puede probar. La prueba de Gentzen, por ejemplo, también usa la inducción transfinita que ciertamente no usa la aritmética en sí misma (según la afirmación de Gödel, ningún sistema podría probarse a sí mismo), y Tarski Angus Macintyre no la consideró convincente ("La importancia matemática de la teoría de la prueba", Phil. Trans. Royal. Soc. A 363 (2005), 2419–2435, p. 2426). Además (dice MacIntyre) en el trabajo de Gentzen, la consistencia no era realmente el problema principal en absoluto.
Entonces, lo que estás haciendo aquí es establecer un argumento de hombre de paja sobre mi uso de Gödel y argumentar en contra. Lo que Gödel probó fue que si la aritmética formalizada es consistente, una codificación numérica particular de ese hecho es expresable, pero no comprobable, dentro de esa teoría misma. Su teorema no descartó demostraciones persuasivas de la consistencia de la aritmética que empleen medios no formalizables dentro de la aritmética. Su crítica no reconoce justa u objetivamente esto.
También debo agregar que el trabajo de Gentzen generalmente se considera una prueba del teorema de Gödel. Al proporcionar una prueba directa de la indemostrabilidad del principio de inducción transfinita, utilizada en su prueba de consistencia de 1936, Gentzen proporcionó a Gödel los medios para descubrir una fórmula aritmética indemostrable que muestra que la aritmética es incompleta. Gödel tomó la prueba de Gentzen y usó un procedimiento de codificación para construir una fórmula aritmética no demostrable.
No entiendo a qué te refieres con «QM... es un sistema computable». ¿Quieres decir lo mismo que el prof. Shor, en su respuesta physics.stackexchange.com/a/73366/6432 a una pregunta relacionada, es decir, ¿que todos los fenómenos físicos se pueden calcular con una precisión arbitraria? (Simulando el modelo físico relevante).
Lo siento, debería haberlo definido más claramente. Por 'sistema computable' estoy usando la tesis de Church-Turing que establece que cualquier función que sea computable por un algoritmo es una función computable. Por lo tanto, cualquier sistema que consta de funciones computables es un sistema computable. ¡Aunque inicialmente escéptico, Gödel argumentó a favor de la tesis de Church-Turing alrededor de 1946! (Para ver cómo QM califica como un sistema computable, consulte 'Computability in Quantum Mechanics' de Werner Depauli-Schimanovich, Eckehart Köhler y Friedrich Stadler. Básicamente, lo digo de la misma manera que Gödel (y Turing & Church).
Supongo que estará de acuerdo en que no parece haber predicciones regulares de la mecánica cuántica que no sean computables, dados los datos computables.
Hay una diferencia sutil entre computable como se usa en matemáticas y computable como se usa en física. Si entiendo la diferencia, es que en matemáticas, el mismo algoritmo debe ser capaz de dar la respuesta con cualquier grado de aproximación deseado. Pero en Física, no nos importa si se necesitaría un algoritmo diferente para cada caso diferente. Esto es como la diferencia entre consistencia omega y consistencia. Puede que no haya un algoritmo dentro del sistema para producir el algoritmo nuevo y diferente necesario para cada caso. Por lo tanto, no estoy seguro de cómo responder a su pregunta.
En una Teoría del Todo debidamente formulada, preguntas como «¿Existo?» debe ser imposible de formular. DE hecho, el pronombre «yo» no debería tener traducción a la Física, ni el verbo «existir». (Kant: la existencia no es un predicado.) No es un accidente que su uso en los libros de texto sea bastante raro.
Su aclaración todavía me deja en la oscuridad en cuanto a su significado. Un axioma no es una función. Un sistema axiomático consta de conceptos y axiomas primitivos. Los axiomas ciertamente no son funciones. Los conceptos primitivos podrían ser. Pero en, digamos, la axiomatización de la geometría euclidiana de Hilbert, no estoy seguro de recordar ninguna función. Y, para ir al extremo opuesto, Principia Mathematica tiene funciones pero ¿seguro que todas son computables? negación, etc? así que lo que esto tiene que ver con la consistencia sigue siendo un misterio para mí. Habría pensado que los sistemas computables son más simples que los no computables....
En los tres axiomas fundamentales de QM, la única función que se presenta es la exponencial del hamiltoniano. Si el Espacio de Hilbert es de dimensión finita, entonces esto es obviamente computable en cualquier sentido. Entonces, por el bien de la discusión, supongamos que las dimensiones infinitas no son un problema. En otros comentarios y respuestas ha dejado claro que cree que es necesario incluir los axiomas de la lógica también, por lo que agrega PM, todas las funciones siguen siendo computables ... ¿y ahora qué?
No está claro qué quiere decir con 'un axioma no es una función'. Además, no estamos hablando específicamente de QM, sino del sistema axiomático que lo sustenta. QM debe presuponer ciertas cosas para poder funcionar, y son 'esas ciertas cosas' las que aparecen en sus axiomas. Se pueden derivar axiomas (es decir, también conclusiones), pero los axiomas no son solo los axiomas de la lógica. Son específicos del sistema formal que se utiliza. Las matemáticas tienen axiomas (es decir, 1+0=1 siempre es cierto, no se puede dividir por 0, etc.). Los axiomas de la física son casi siempre matemáticos, casi siempre ecuaciones (F=MA). ¿Qué es 'PM'?
"Resulta que en cualquier sistema axiomático (ya sea que estos axiomas tengan o no que ver con las leyes físicas) debemos seleccionar la consistencia o la integridad, pero no ambas". El campo cerrado real es completo y consistente, por lo que no es un "sistema axiomático" o lo que dices está mal.
¿Podemos construir un sistema axiomático de leyes físicas?
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